ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A

Tích Phân Hàm Ẩn

ĐT liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông
ID Tik Tok: dongpay

Trang 1

ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A

Tích Phân Hàm Ẩn

MỤC LỤC
DẠNG 1: ÁP DỤNG CÁC QUY TẮC VÀ ĐẠO HÀM CỦA HÀM SỐ HỢP

TRANG

QUY TẮC ĐẠO HÀM TÍCH

3

QUY TẮC ĐẠO HÀM THƯƠNG

7

ÁP DỤNG CÔNG THỨC ĐẠO HÀM CỦA HÀM CHỨA CĂN

15

ÁP DỤNG CÔNG THỨC ĐẠO HÀM CỦA HÀM MŨ

18

ÁP DỤNG CÔNG THỨC ĐẠO HÀM CỦA HÀM LÔGARIT

19

ÁP DỤNG CÁC CÔNG THỨC ĐẠO HÀM KHÁC

21

DẠNG 2: PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN

22

TÍCH PHAN HAM ẨN DỔI BIẾN DẠNG 1

22

TÍCH PHAN HAM ẨN DỔI BIẾN DẠNG 2

28

TÍCH PHAN HAM ẨN DỔI BIẾN DẠNG 3

39

TÍCH PHAN HAM ẨN DỔI BIẾN DẠNG 4

49

TÍCH PHAN HAM ẨN DỔI BIẾN DẠNG 5

51

TÍCH PHAN HAM ẨN DỔI BIẾN DẠNG 6

53

DẠNG 3: PHƯƠNG PHÁP TỪNG PHẦN

55

TRƯỜNG HỢP RIÊNG

68

DẠNG 4: PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN TUYẾN TÍNH CẤP 1

ĐT liên hệ: 097806416

Chuyên đề các dạng tích phân hàm ẩn điển hình mức độ VD – VDC

Phan Nhật Linh

Fanpage: Luyện thi Đại học 2023

NGUYÊN HÀM
LÝ THUYẾT
1. Định nghĩa
▪ Cho hàm số f ( x ) xác định trên K . Hàm số F ( x ) được gọi là nguyên hàm của hàm số f ( x )
trên K nếu F  ( x ) = f ( x ) với mọi x thuộc K .
Họ tất cả các nguyên hàm của hàm số f ( x ) ký hiệu là f ( x ) = F ( x ) + C .
▪ Chú ý: Mọi hàm số liên tục trên K đều có nguyên hàm trên K .
2. Tính chất



▪

▪

  f ( x)  g ( x)dx =  f ( x)dx   g ( x)dx .
 kf ( x)dx = k  f ( x)dx (với k  0 )    k. f ( x) + l.g ( x)dx = k  f ( x)dx + l  g ( x)dx

▪

(  f ( x)dx ) = f ( x) + C

▪

Nếu f , g là hai hàm số liên tục trên K thì

3. Công thức đổi biến số:

 f [u ( x ) ]u ( x ) dx = F[u ( x ) ] + C

4. Công thức nguyên hàm từng phần:

 udv = uv −  vdu

5. Bảng nguyên hàm và vi phân
Hàm hợp u = u ( x )

Hàm số sơ cấp

Thường gặp
1
d ( ax + b ) = dx
a

 dx = x + C

 du = u + C

Vi phân

x +1
 x dx =  + 1 + C (  −1)

u +1
 u du =  + 1 + C (  −1)

 ( a x + b)





dx
= ln x + C
x

( x  0)





du
= ln u + C ( u ( x )  

Chủ đề nguyên hàm, tích phân và ứng dụng ôn thi tốt nghiệp THPT môn Toán

Ch       4: NGUYÊN HÀM T  NG PH  N A. LÝ THUY  T TR  NG TÂM  Cho hai hàm s    (   ) u   u   x =   và   (   ) v   v x =   có đạ o hàm liên t  c trên   K   ta có công th  c nguyên hàm t  ng ph  n:   . udv   uv   vdu =         Chú      T a   thườ ng   s    d    phương   pháp   nguyên   hàm   từ ng   ph  n   n  u   nguyên   hàm   có   d  ng  (   )   (   ) .   , I   f   x   g   x dx =      trong đó   (   ) f   x   và   (   ) g   x   là 2 trong 4 hàm s  :   Hàm s    logarit, hàm s     c, hàm s    lượ ng giác, hàm s    mũ.     tính nguyên hàm   (   )   (   ) . f   x   g   x dx    t  ng ph      Bướ c 1.    t   (   ) (   ) (   ) (   )  ' u   f   x   du   f   x dx dv   g   x dx   v   G x  =   =              =   =          (trong đó   (   ) G x   là m  t nguyên hàm   b  t k    c  a hàm s   (   ) g   x   )     Bướ c 2.   Khi đó theo công thứ c nguyên hàm t  ng ph  n ta có:  (   )   (   )   (   )   (   )   (   )   (   ) .   .   .   '   . f   x   g   x dx   f   x   G x   G x   f   x dx =         Chú ý:   Khi   (   )   (   ) . I   f   x   g   x dx =      và   (   ) f   x   và   (   ) g   x   là 2 trong 4 hàm s  :   Hàm s    logarit, hàm s      th  c, hàm s    lượ ng giác, hàm s    mũ   ta đặt theo quy tắc đặ t   . u  Nh  t log (hàm log, ln) –   Nhì đa (hàm đa thứ c)  Tam lượng (hàm lượ ng giác) – T    mũ (hàm mũ)  T  c là hàm s    nào đứng trướ c trong câu nói trên ta s     t   u   b  :     N  u   (   ) f   x   là   hàm log,   (   ) g   x   là m  t trong 3 hàm còn l  i, ta s     t   (   ) (   )   .  u   f   x dv   g   x dx  =      =       Tương tự   n  u   (   ) f   x   là   hàm mũ ,   (   ) g   x   là   hàm đa thứ c , ta s     t   (   ) (   )  u   g   x dv   f   x dx  =      =   M  t s    d  ng nguyên hàm t  ng ph  n   thườ ng g  p.     D  ng 1:   (   )   (   ) ln   , I   P x   mx   n dx =   +    trong đó   (   ) P x   là đa thứ c.  Theo quy tắc ta đặ t   (   ) (   )  ln   .  u   mx   n dv   P x dx  =   +      =       D  ng 2:   (   )   sin   , cos  x I   P x   dx x      =              trong đó   (   ) P x   là đa thứ c. T heo quy tắc ta đặ t  (   )  . sin cos  u   P x x dv   dx x  =          =               D  ng 3:   (   )   , ax   b  I   P x e   dx + =      trong đó   (   ) P x   là đa thứ c  Theo quy tắc ta đặ t   (   )   . ax   b  u   P x  dv   a   dx +    =     =       D  ng 4:   sin   . cos  x x I   e dx x      =             Theo quy tắc ta đặ t sin cos   .  x x u   x dv   e dx         =                  =   B. VÍ D    MINH H  A Ví d    Tìm nguyên hàm c  a các hàm s    sau:  a)   1   sin I   x   xdx =      b)   3 2  x I   xe   dx =      c)   2 3   cos I   x   xdx =      d)   4   ln I   x   xdx =     L  i gi  i:  a)   1   sin I   x   xdx =        Cách 1:    t   sin   cos  u   x   du   dx xdx   dv   v   x  =   =           =   = −     1   sin   cos   cos   cos   sin   . I   x   xdx   x   x   xdx   x   x   x   C     =   = −   +   = −   +   +         Cách 2:   (   ) 1   sin   cos   cos   cos   cos   sin I   x   xdx   xd   x   x   x   xdx   x   x   x   C     =   = −   = −      = −   +   +            b)   3 2  x I   xe   dx =        Cách 1:    t   3 3   1 3  x x du   dx u   x v   e e   dx   dv  =  =             = =       (   ) 3   3   3   3   3   3   3 2 1   1   1   1   1   1 3 3   3   3   9   3   9  x   x   x   x   x   x   x I   xe   dx   xe   e   dx   xe   e   d   x   xe   e   C     =   =      =      =      +            Cách 2:  (   )   (   ) 3   3   3   3   3   3   3   3 2 1   1   1   1   1   1 3 3   3   3   3   3   3  x   x   x   x   x   x   x   x I   xe   dx   xd e   xe   e   dx   xe   e   d   x   xe   e   C                =   =   =      =      =      +                                   c)   2 3   cos I   x   xdx =        Cách 1:    t 2   2 sin cos  du   xdx u   x v   x xdx   dv  =    =            = =      Khi đó   2   2   2 3   cos   sin   2   sin   sin   2 I   x   xdx   x   x   x   xdx   x   x   J =   =      =         Xét   sin   . J   x   xdx =       t

Chuyên đề trắc nghiệm nguyên hàm từng phần

CH       3: PHƯƠNG PHÁP ĐỔ I BI   D  .    I BI    HÀM SỐ   VÔ TỈ   (Đặ t t = hàm theo bi  n x)     Mẫu 1:    i bi  n hàm s    vô t     n  Nguyên hàm   (   ) f   x dx    trong đó   (   )   (   ) n f   x   g   x =   ta đặ t   (   )   (   ) n n t   g   x   t   g   x =      =  (   ) 1 n nt   dt   g   x dx        =   . Khi đó   (   )   ( )   . f   x dx   h t dt =         Mẫ u 2:   Nguyên hàm dạng   (   )   . x f   a   dx   Ta đặ t   (   )   ( )   . ln   .ln   .ln  x   x   x   f   t   dt dt t   a   dt   a   adx   dx   f   a   dx t   a   t   a  =      =      =      =       .     Mẫ u 3:   Nguyên hàm dạng   (   ) ln   .  f   x dx x   Ta đặ t   1 ln   . t   x   dt   dx x  =      =   Khi đó   (   )   ( )  ln   .  f   x dx   f   t dt x   =      Chú ý:   N  t   t   b   Ví dụ   v    2  ln   . ln   1  x dx I x   x  = +    ta nên đặ t   2   2   2  ln   1   ln   1. t   x   t   x =   +      =   + 1   1  2   2 ln   .   ln   .   . tdt   x   dx   tdt   x   dx x   x     =      =   Khi đó   2  ln   1  tdt I   dt   t   C   x   C t  =   =   =   +   =   +   +       .  Ví d    1:   Tìm các nguyên hàm sau:  a)   3   2   4   . I   x   x   dx =   +    b)   (   ) 3 2   4   . I   x   x   dx =   +   c)  (   )   . 1  dx I   x   x  =   +    d)   3  1   . 9  I   dx x   x  = +   L  i gi  i  a)    t   2   2   2 4   4   2 d   2   . t   x   t   x   t t   xdx   tdt   xdx =   +      =   +      =      =  Khi đó   (   )   (   ) 2   2   2   4   2  4   4   .   4 I   x   x   xdx   t   t tdt   t   t   dt =   +   =      =            (   )   (   )  5   3 2   2 5   3   4   4   4 4   .  5   3   5   3  x   x t   t   C   C  +   + =      +   =      +  b)    t   2   2   2 4   4   2   2   . t   x   t   x   tdt   xdx   tdt   xdx =   +      =   +      =      =  Khi đó   (   )   (   ) 5 2  5  3 2   3   4   4 4   .   . 5   5  x t I   x   x   dx   t   tdt   t dt   C   C  + =   +   =   =   =   +   =   +         c)    t   2   2 t   x   t   x   tdt   dx =      =      =Khi đó   (   )   (   )  (   ) (   ) 2 2   1 2   2   1   1 2   .  1   1   1 1  t   t dt tdt   dt I   dt t t   t t   t   t t   t  +          =   =   =   =        +   +   + +                  2 ln   2 ln   1   2 ln   2 ln   .  1   1  t   x t   t   C   C   C t   x  =      +   +   =   +   =   + +   +  d)    t   3   2   3   2 9   9   2   3 t   x   t   x   tdt   x dx =   +      =   +      =  Ta có:  (   ) 2 2 3   3   3 1   3   2 3   9 . 9   3   9  x   tdt I   dx   dx   t   t x   x   x   x  =   =   =    +   +         (   )(   )  (   )   (   ) (   )(   ) 2 3   3 2   2   1   1   1   1 3   3   3   3   9   3   3   9   3   3 9  t   t   dt dt   dt t   t   t   t   t   t t  +                     =   =   =   =           +      +      +                   3 3 1   3   1   9   3  ln   ln   .  9   3   9   9   3  t   x C   C t   x     +    =   +   =   + +   +   +  Ví d    2:   Tìm các nguyên hàm sau:  a)   2   1   . 1  x x e I   dx e  + =   +    b)  2  ln   1   . ln  x I   dx x   x  + =     c)   ln   .   2 ln   1   .  x   x I   dx x  + =      d)   ln   .  .   ln   2  x I   dx x   x  =   +   L  i gi  i  a)    t   x   x t   e   dt   e dx   dt   tdx =      =      = K hi đó   (   ) (   )  (   )   (   )   (   )  2 2   2 2   2 2   1   2   1   ln   ln 1  x   x d t   t t   dt   t   dt I   t   t   C   e   e   C t t   t   t   t   t  + +   + =   =   =   =   +   +   =   +   + +   +   +         (   )   (   ) ln   ln   1   ln   1   . x   x   x e   e   C   x   e   C =   +   +   +   =   +   +   +  Cách 2:   2   1   1   1 1   1   1   1      +   +   + =   =   =   +   =   +     +   +   +   +                   x   x   x   x   x x   x   x   x e   e   e   e   e dx I   dx   dx   dx   dx e   e   e   e  (   )   (   )  1   ln   1   . 1  x x x d e   x   e   x   C e  + =   +   =   +   +   + +   b)    t   ln   dx t   x   dt   x  =      =  Khi đó 2   2   2  1   1   ln ln   ln ln   .  2   2  t   t   x I   dt   t   dt   t   C   x   C t   t  +       =   =   +   =   +   +   =   +   +              c)    t   2   2 2 ln   1   2 ln   1   2   .  dx   dx t   x   t   x   tdt   tdt x   x  =   +      =   +      =      =

Chuyên đề trắc nghiệm phương pháp đổi biến tìm nguyên hàm

CH       2: PHƯƠNG PHÁP VI PHÂN TÌM NGUYÊN HÀM  I. Vi phân của hàm số  Vi phân c  a hàm s    (   ) y   f   x =    c ký hi  u là   dy   và cho b  i   (   )   (   ) dy   df   x   y dx   f   x dx     =   =   = Ví d  :   (   )   (   )   (   ) sin   cos   sin   cos   cos   sin d   x   x   x   x   dx   x   x dx  +   =   +   =     II. Một số   công thức vi phân quan trọng  (1).   (   )   (   )  1   1  dx   d   ax   b   d b   ax a   a   =      =     (2).   (   )   (   )   (   ) 2   2   2 1   1   1 2   2   2  xdx   d   x   d   ax   b   d b   ax a   a  =   =      = −     (3).   (   )   (   )   (   ) 2   3   3   3 1   1   1 3   3   3  x dx   d   x   d   ax   b   d b   ax a   a   =   =      =     (4).   (   )   (   )  1 sin   d cosx   cos   b x   d   a   x a   = −   =     (5).   (   )   (   )  1 cos   sinx   sin   b xdx   d   d   a   x a  =   =     (6).   (   )   (   ) 2 1 tan   tan cos  dx   d   x   d   a   x   b x   a  =   =     (7).   (   )   (   ) 2 1 cot   cot sin  dx   d   x   d   a   x   b x   a   = −   =     (8).   (   )   (   )   (   ) 1   1 2  dx   d   x   d   a   x   b   d b   a   x a   a x   =   =      =     (9).   (   )   (   )   (   ) 1   1 x   x   x   x e dx   d e   d   ae   b   d b   ae a   a   =   =      =     (10).   (   )   (   )   (   )  1   1 ln   ln   ln  dx   d   x   d   a   x   b   d b   a   x x   a   a   =   =      =     Ví dụ   1:   Tìm nguyên hàm   sin   cos   . sin   cos  x   xdx x   x   +   A.   1   . sin   cos   C x   x   + +   B.   1   . sin   cos   C x   x     + +  C.   ln sin   cos   . x   x   C +   +   D.   ln sin   cos   . x   x   C    +   +  L  i gi  i:  Ta có   sin   cos   cos   sin   (sin   cos   ) sin   cos   sin   cos   sin   cos  x   x   x   x   x   x dx   dx   dx x   x   x   x   x   x         + = −   = − +   +   +         (   ) d sin   cos   ln sin   cos   . sin   cos  x   x   x   x   C x   x  + = −   = −   +   + +    Chọn D.Ví dụ   2:   Tìm nguyên hàm  (   )   2 2 1   . 2  x I   dx x   x  + = +   A.   2 1 ln   2   . 2   x   x   C    +   +   B.   2 1   . 2   4   C x   x     + +   C.   2 1   . 2   C x   x   + +   D.  (   )   3 2 2   . 2  C x   x     + +  L  i gi  i:  Ta có:  (   )   (   ) (   ) (   )  2 2   2   2 2   2   2 2 1   1   2   2   1 2   2 2   2   2  d   x   x x   x dx   dx x   x   x   x   x   x  + +   + =   = +   +   +           ng   2   2 1   1   . 2(   2 )  du   C   I   C u   u   x   x      =   +      =   + +    Chọn B.  Ví dụ   3:   Tìm nguyên hàm  (   )   2 2 3 . 1  xdx I x  = +   A.   2 3   1 2   x   C +   +   B.   3   2 3   1   . 2   x   C +   +   C.   3   2 2   1   . 3   x   C +   +   D.   (   ) 2 2 3 3   1   . 2   x   C +   +  L  i gi  i:  Ta có:  (   )  (   ) (   )   (   )   (   )  2   2 2   2 3 2   2 2   2 3   3 1 1   1   1   1 2   2 1   1  d   x xdx I   x   d   x x   x   + =   =   =   +   + +   +         (   )   1 3 2   2 3 1   3 .3.   1   1   . 2   2  x   C   x   C =   +   +   =   +   +   Chọn B.  Ví dụ   4:   Hàm s    nào sau đây không phả i nguyên hàm c  a hàm s    (   )   1   sin   . cos  x f   x   x   x  + =     A.   ln 2   2 cos   . x   x    B.   ln   cos   1. x   x    +   C.   (   ) 2 1 ln   cos   . 2   x   x    D.   (   ) 2 ln 2   2 cosx   . x     L  i gi  i:  Ta có:   (   )   (   )   (   ) cos   cos 1   sin   ln   cos cos   cos   cos  x   x   d   x   x x F   x   dx   dx   x   x   C x   x   x   x   x   x       + =   =   =   =      +            V  i   ln 2 C   =   ta đượ c   (   )   ln 2   2 cos   . F   x   x   x =    V  i   1 C   =   ta đượ c   (   )   ln   cos   1. F   x   x   x =      + V  i   0 C   =   ta đượ c   (   )   (   )   2 1 ln   cos   ln   cos   . 2  F   x   x   x   x   x =      =        sai   là   D .   Chọn D.

Chuyên đề trắc nghiệm phương pháp vi phân tìm nguyên hàm

Ch       14: M  T S     NG D  NG KHÁC C  A TÍCH PHÂN     D  ng, v  n t  c, gia t  c và th  i gian  V  i bài toán chuy  ng gi    s    v  n t  c t  c th  i c  a v  t là   ( ) v t   thì   ( )   ( ) ' v t   s   t = Gia t  c t  c th  i c  a v  t:   ( )   ( )   ( ) '   " a t   v   t   s   t =   =  Do đó quãng đườ ng v  c t    th  m   1 t    n   2 t   là   ( )  2 1 .  t t S   v t dt =     V  n t  c t  c th  i c  a v  t:   ( )   ( ) v t   a t dt =     Ví d    1: M  t ô tô đang ch     c 20 m/s thì ngư  i lái hãm phanh. Sau khi hãm phanh, ô tô chuy    ng ch  m d  u v  i v  n t  c   ( )   4   20 v t   t = −   +   (m/s) trong đó   t   là khoả ng th  i gian tính b    t   lúc b  i t    lúc hãm phanh đến khi dừ ng h  c bao nhiêu mét?  A.   25 m.   B.   50 m.   C.   10 m.   D.   30 m.  L  i gi  i:  Khi v  t d  ng h  n thì   ( ) 0   4   20   0   5   . v   t   t   s =      +   =      = Qu  ng v  ng th  i gian trên là:   ( )   ( )   (   )  5   5 0   0 4   20   50 S t   v t dt   t   dt =   =      +   =       m.  Ch  n A.  Ví d    2:   M  t ô tô xu  i v  n t  c   ( )   (   ) 1   2   12   /   , v   t   t   m   s =   +   sau khi đi được khoả ng th  i gian   1 t   thì b  t ng    g  ng ng  i v  t nên tài x    phanh gấp vớ i v  n t  c   ( )   (   ) 2   24   6   /   , v   t   t m   s =      và đi thêm một khoả ng th  i gian   2 t   n  a thì d  ng l  i t    khi xuất phát đế n lúc d  ng l  c bao nhiêu mét ?  A.   12   . m   B.   156   . m   C.   108   . m   D.   48   . m  L  i gi  i:  Ta có:   (   ) 02   24   / v   m   s =   do đó khi gặp chướ ng ng  i v  t v  n t  c là 24   / m   s  Khi đó   ( )   ( ) 1   2   12   24   6 v   t   t   t   s =   +   =      =  V  t d  ng l    ( )   ( ) 2   2 24   6   0   4 v   t   t   t   s =      =      =  Qu  ng v  c là:   ( )   ( )   (   )   (   )  6   4   6   4 1   2 0   0   0   0 2   12   24   6   156   . s   v   t dt   v   t dt   t   dt   t dt   m =   +   =   +   +      =            Ch  n B.  Ví d    3 : M   t đi  m đang chuy  n đ       (   ) 0   16   / v   m   s =   thì tăng t   ( )   (   ) 2   2 3   /   . a t   t   t   m   s =   +   Tính quãng đườ ng ch  ng th  i gian   4 s   kể   t    lúc b  u  tăng tố c.  A.   (   )  160   . 3   m   B.   (   )  352   . 3   m   C.   (   )  400   . 3   m   D.   (   )  250   . 3   m  L  i gi  i:  Ta có:   ( )   ( )   (   )   3   2 2   3 3   3   2  t   t v t   a t dt   t   t dt   C =   =   +   =   +   +      Khi đó   (   )   ( )   3   2 0 3 0   16   16 3   2  t   t v   v   C   v t =   =   =      =   +   +  Khi đó quãng đường đi đượ c b  ng:   ( )   ( ) 4   4   3   2 0   0 3   16 3   2  t   t s t   v t dt   dt      =   =   +   +              (   )  4 4   3 0 352 16   . 12   2   3  t   t   t   m      +   +   =          Ch  n B.  Ví d    4:   M  t ô tô b  u chuy  ng nhanh d  u v  i v  n t  c   ( )   (   ) 1   2   /   . v   t   t   m   s =    người lái xe phát hiện chướ ng ng  i v  c chuy  ng ch  m d  u v  i gia t  c  (   ) 2 12   /   . a   m   s = −   Tính quãng đườ ng   (   ) s m    c c  a ô tô t    lúc b  u chuy  ng h  n  A.   168   . s   m =   B.   166   . s   m =   C.   144   . s   m =   D.   152   . s   m =  L  i gi  i:  Quãng đường xe đi được trong 12 s đầ u là: 12 1 0 2   144   . s   tdt   m =   =   Sau khi đi đượ c 12 s v  t v  n t  c   24   /   , v   m   s =   sau đó vậ n t  c c  a v    24   12 v   t =     V  t d  ng h  n sau 2   s   kể   t    khi phanh.  Quãng đườ ng v  c t    khi đạp phanh đến khi dừ ng h  n là:   (   )  2 2 0 24   12   24   . s   t dt   m =      =  V  y t  c là   1   2   144   24   168   . s   s   s   m =   +   =   +   =   Ch  n A.  Ví d    5 : M   t đi   n đ  ng trên đư     u dương hư  ng sang ph   t    thu  c th  i gian   ( ) t s   là   ( )   (   ) 2 2   7   /   . a t   t   m   s =      Bi  t v  n t  u b  ng   (   ) 10   /   , m   s   h  i trong 6 giây   m nào ch  m      xa nh  t v    phía bên phả i?  A.   ( ) 5   . s   B.   ( ) 6   . s   C.   ( ) 1   . s   D.   ( ) 2   . s

Một số ứng dụng khác của tích phân

CH       15: M  T S    BÀI TOÁN CH  N L  C V    TÍCH PHÂN Ví   d    1:   Cho   hàm   s    (   ) y   f   x =   có    o   hàm   liên   t    trên    n   [   ] 1; 2   th  a   mãn  (   )   (   )   (   )   2 .   .   1 f   x   x f   x   x f   x  +   =   +           . Bi  t   ( ) 1   2 f   = −   , tính   (   ) 2 f  A.   (   )   1 2   . 2  f    =   B.   (   )   1 2   . 2  f   =   C.   (   )   3 2   . 2  f    =   D.   (   )   3 2   . 4  f    =  L  i gi  i:  Ta có   (   )   (   )   (   )   (   )   (   ) (   )  (   ) (   ) 2 2   2 . . .   .   1   1   1 .   1   .   1  x f   x f   x   x f   x f   x   x f   x   x f   x x f   x   x f   x        +        +   =   +      =      =           +   +                     L  y nguyên hàm 2 v    ta đượ c:   (   ) 1 .   1   x   C x f   x     =   + + Thay   (   )   (   ) 2 1   1   1   3 1   1   0   2 2   1   4  x   C   C   f   x   f x x      =      =   +      =      =         = −    +   .   Ch  n D. Ví   d    2:   Cho   hàm   s    (   ) y   f   x =   xác    nh   và   liên   t    trên    n   [   ] 1;3   và   th  a   mãn  (   )   (   )   (   )   [   ] (   )  2 2   3 .   .   .   1   1;3 x   f   x   x   f   x   x f   x   x  +   =   +              và   ( )   2 1   3  f    =   . Khi đó:  A.   ( ) 0   3   1. f <   <   B.   ( ) 1   3   3. f <   <   C.   ( ) 3   3. f   >   D.   ( ) 3   0. f   <  L  i gi  i:  Ta có:   (   )   (   )   (   )   (   )   (   )   (   )  2   2 2   3   2 .   .   1   .   1 x   f   x   x   f   x   xf   x   x   f   x   x f   x   xf   x     +   =   +      +   =   +                                  (   )   (   ) (   )  (   ) (   ) 2   2   2   2 . .   1   1 1   1  x f   x f   x   x f   x x   x xf   x   xf   x        +          =      = +   +                     L  y nguyên hàm 2 v    ta đượ c:   (   ) (   )   (   ) 2   2 1   1   1   1 1 1  d   xf   x   dx   C xf   x   x x xf   x  +                    =   + + +             L  i có:   ( )   ( ) 2   1   1 1   1   1   2 2 3   1.   1   1   1 3  f   C   C f         =      = − +      =   +   = −  +   +  Do đó   (   ) 1   1   2 .   1 x f   x   x  =   + +   , thay   ( )   ( ) 1   1   4 3   2   3 3.   3   1   3   21  x   f f   =      =   +      = +   .   Ch  n D .  Ví d    3 :   Cho hàm s    (   ) y   f   x =     ng bi  n và luôn dương trên đo  n   [   ] 1;3     ng th  i th  a mãn  (   )   (   )   (   )  2   4   2 3 f   x   x   x   f   x    =   +           , bi  t   ( ) 1   4 f   =   . Khi   A.   (   ) 0   2   3. f <   <   B.   (   ) 3   2   5. f <   <   C.   (   ) 5   2   9. f <   <   D.   (   ) 2   9. f   >  L  i gi  i:  Ta có:   (   )   (   )   (   )   (   ) (   )   (   )  2 2   4   2   2   2 3   3  f   x f   x   x   x   f   x   x   x f   x              =   +      =   +          (   ) (   ) 2   3  f   x   x   x f   x      =   +   (do   (   )   [   ] 0   1; 2 f   x   x >      ) L  y nguyên hàm 2 v    ta đượ c:   (   ) (   )   (   )   (   ) 2   2   2 1 3   2   3   3 2  d   f   x   x   x   dx   f   x   x   dx x f   x            +      =   +   +         (   )   (   )   (   ) 3   3 2   2 1 2   1 .   3   3 4 3   6  f   x   x   C   x   C    =   +   +   =   +   + Do   ( )   (   )   (   )   3 2   3 8   2   2 1   4   2   . 6   3   6   3  x f   C   C   f   x   + =      =   +      =      =   +  (   )   (   )   (   )  2 3 2   3   2   2   14,1 6   3  x f   x   f      +        =   +                   .   Ch  n D.  Ví d    4:   Cho hàm s    (   ) f   x   có đạo hàm xác đị nh, liên t  c   [   ] 0;1    ng th  i th  a m  u ki  n  (   ) 0   1 f      = −   và   (   )   (   )  2  f   x   f   x     =           . Đặ t   ( )   (   ) 1   0 T   f   f =      , hãy ch  n kh   A.   2   1. T       < −   B.   1   0. T       <   C.   0   1. T    <   D.   1   2. T    <  L  i gi  i:  Ta có:   (   )   (   )   (   ) (   ) 2 2   1  f   x f   x   f   x f   x       =      =                    L  y nguyên hàm 2 v    ta có:   (   ) (   )   (   )   (   ) 2 1   1 d   f   x   dx   x   C   f   x f   x   x   C f   x                    =      =   +      =    +              Do   (   ) 0   1   1 f   C    = −      = Suy ra   (   )   ( )   (   )  1   1 0   0 1   1   0   ln 2 1  f   x dx   dx   f   f x      =         = − +       .   Ch  n B.  Ví   d    5:   Cho   hàm   s    (   ) f   x   liên   t    và    ng   bi  n   trên    n   [   ] 0;1   ,   bi  t   (   ) 0   1 f   =   và  (   )   (   )   [   ]  2   3 2   9   9 .   0;1 f   x   x   x   x f   x   x    +   =   +              . M    nào dưới đây đúng

Một số bài toán chọn lọc về tích phân

CH       1: M     U V    NGUYÊN HÀM I. LÝ THUY  T TR  NG TÂM  I. Vi phân c  a hàm s   Vi phân c  a hàm s    (   ) y   f   x =    c ký hi  u là   dy   và cho b  i   (   )   (   ) dy   df   x   y dx   f   x dx     =   =   =  II. Nguyên hàm  1. Định nghĩa  Cho hàm s    (   ) f   x   xác đị nh trên   K   . Hàm s    (   ) F   x    c g  i là   nguyên hàm   c  a   (   ) f   x   trên   K   n  u  (   )   (   ) F   x   f   x    =   v  i m  i   x   thu  c   K   .  2. Đị nh lý   nh lý 1:   N  u   (   ) F   x   là m  t nguyên hàm c  a hàm s    (   ) f   x   trên   K thì v  i m  i h  ng s    C   , hàm s   (   )   (   ) G x   F   x   C =   +   cũng là mộ t nguyên hàm c  a   (   ) f   x   trên   K .   nh lý 2:   N  u   (   ) F   x   là m  t nguyên hàm c  a hàm s    (   ) f   x   trên   K   thì m  i nguyên hàm c  a hàm s   (   ) F   x   trên   K    u có d  ng   (   ) F   x   C +   v  i   C là m  t h  ng s  .  3. Tính ch  t c  a nguyên hàm  N  u   (   ) f   x   và   (   ) g   x   là hai hàm s    liên t  c trên   K   thì  - Tính ch  t 1:   (   )   (   ) f   x dx   f   x   C    =   +  - Tính ch  t 2:   (   )   (   ) .   . k f   x dx   k   f   x dx =       , v  i   k   là s    th  c khác 0.  - Tính ch  t 3:   (   )   (   )   (   )   (   ) f   x   g   x   dx   f   x dx   g   x dx    =                   4. B  ng công th  c nguyên hàm B   c nguyên hàm thư   Các công th    Công th     1 1  n n   x x dx   C n  + =   + +    (   ) 1 n     1 1  n n   u u dx   C n  + =   + +    (   ) 1 n     sin   cos xdx   x   C = −   +    sinu   cosu du   C = −   +   cos   sin xdx   x   C =   +    cos   sin udu   u   C =   +   2 1   tan cos   dx   x   C x   =   +    2 1   tan cos   du   u   C u   =   +   2 1   cot sin   dx   x   C x   = −   +    2 1   cot sin   du   u   C u   = −   +   1   ln dx   x   C x   =   +    1   ln du   u   C u   =   + x   x e dx   e   C =   +    u   u e du   e   C =   +   ln  x x   a a dx   C a  =   +    ln  u u   a a du   C a  =   +    c bi  t:   0 dx   C =    ;   dx   x   C =   +    . II. CÁC D  NG TOÁN TR  I  Ví d    1: Tìm nguyên hàm c  a hàm s    (   )   3   3 f   x   x   cos x =   +  A.   (   ) 3 1   sin 3 x   C +   +   .   B.  2 3   sin 3 2   3  x   x   C +   +   .   C.  2 3   sin 3 2   3  x   x   C    +   .   D.   2 3   sin 3 x   x   C +   +   .  L  i gi  i  Ta có:   (   )   2 3   sin 3 3   3   2   3  x   x x   cos x   C +   =   +   +    .   Ch  n B.  Ví d    2:   Tìm nguyên hàm c  a hàm s    (   )   2 x   x f   x   e =   +  A.   2 ln 2 x   x e   C +   +   .   B.   2 ln 2  x x e   C +   +   .   C.   1   1 2 x   x e   C +   + +   +   .   D.  1   1 2 1  x   x e   C x  +   + +   + +   .  L  i gi  i  Ta có:   (   )   2 2   2   ln 2  x x   x   x   x   x e   dx   dx   e dx   e   C +   =   +   =   +   +          .   Ch  n B.  Ví d    3:   Tìm nguyên hàm c  a hàm s    (   )   2 3   2 1 . f   x   x   x   x  =   +   trên kho  ng   (   ) 0;   +∞  A.   7   3 2   3 7   x   x   C +   +   .   B.   7   3 7   1 2   3  x   x   C +   +   .   C.   5   3 2   3 5   x   x   C +   +   .   D.   5   3 5   1 2   3  x   x   C +   +   .  L  i gi  i  V  i   (   ) 0; x      +∞   ta có:   2   2 3   3 2   2 1 .   .   dx x   x   dx   x   xdx x   x      +   =   +                2   2 1   5 2   7   3 3   3 2   2   2 .   3 7  x   x dx   x   dx   x dx   x   dx   x   x   C      =   +   =   +   =   +   +             .   Ch  n A.  Ví d    4:   [Đề   thi THPT Qu  c gia 2017]   Tìm nguyên hàm c  a hàm s    (   )   1 5   2  f   x   x  =     A.   1 ln 5   2 5   x   C    +   .   B.   1 ln 5   2 2   x   C       +   .   C.   5ln 5   2 x   C    +   .   D.   ln 5   2 x   C    +   .  L  i gi  i

Chuyên đề trắc nghiệm mở đầu về nguyên hàm

CH        13:    NG D  NG TÍCH PHÂN TÍNH TH    TÍCH  1)   Tính th    tích v  t th   C  t   m  t   v  t   th  (   )  H   b  i   hai   m  t   ph  ng (   )  P   và (   )  Q   vuông   góc   v  i   tr  c Ox   l  n   lư  t   t  i (   )  ;   . x   a x   b   a   b =   =     M  t m  t ph  ng tu      i Ox   t  i đi  m x   ( a   x   b       ) c  t (   )  H   theo thi  t  di  n là (   )  S   x   (hình v  ). Gi    s  (   )  S   x   liên t  c trên đo  n      ;   . a b  Khi đó th    tích V   c  a v  t th  (   )  H   gi  i h  n b  i hai m  t ph  ng (   )  P   và (   )  Q     c   tính b  i công th  c: (   )  .  b a  V   S x dx =     2)   Tính th    tích v  t tròn xoay sinh b  i di  n tích S quay quanh tr  c Ox  Gi    s    m  t hình thang   cong gi  i h  n b  i đ    th    hàm s  (   )  y   f   x =  ,   tr  c Ox   và   hai     ng   th  ng x   a =   và (   )  x   b   a   b =     quay quanh tr  c Ox   t  o thành m  t kh  i  trò n xoay ( hình v  ) . Khi đó ta có th    tích v  t th    là : ( )   =   b a   dx x S V  M  t khác t  i đi  m x   ta có (   )  S   x   là m  t hình tròn có  bán kính (   )  R   f   x = (   )   ( )  2   2  S x   R   f   x         =   =  . V  y (   )  2   .  b Ox   a  V   f   x dx   =     Trong trư  ng h  p (   )  S   x   gi  i   h  n b  i hai đ    th    hàm s  (   )  y   f   x =  và (   )  y   g x =   ta đư  c kh  i tròn xoay có th   tích là: (   )   (   )  2   2   .  b Ox   a  V   f   x   g   x   dx   =    Chú ý:   Khi bài toán không cho hai đư  ng th  ng gi  i h  n x   a =   và x   b =   thì ta gi  i phương trình (   )   (   )  f   x   g x =      tìm c  n c  a tích phân, trong đó x   a =   là nghi  m nh    nh  t và x   b =   là nghi  m l  n nh  t  c  a phương trình.  3)   Tính th    tích v  t tròn x oay sinh b  i di  n tích S quay quanh tr  c Oy  Th    tích kh  i tròn xoay sinh ra khi quay hình ph  ng gi  i h  n b  i      th    hàm   s  (   )  y   f   x =   tr  c Oy   và   hai     ng   th  ng (   )   ( )  ;   . y   f   a   y   f   b =   =  -   Bư  c 1:   Bi  n đ  i (   )  y   f   x =   v    d  ng (   )  1   . x   f   y =  -   Bư  c 2:   Khi đó (   ) ( )  (   )  2 1   .  f   b Oy f   a  V   f   y dy   =     Tương t  :   Trong trư  ng h  p Oy V   sinh ra b  i di  n tích hình ph  ng  c  a hai đ    th    hàm s  (   )   (   )  ; y   f   x   y   g x =   =   và hai đư  ng th  ng ; y   m   y   n =   =  ta có (   )   (   )  2   2 1   1   .  n Oy m  V   f   y   g   y   dy   =      Chú ý:   Khi quay di  n tích hình ph  ng S   quanh tr  c Ox   ta đư  c kh  i tròn xoay có th    tích Ox V   . Khi quay  quanh tr  c Oy   ta đư  c kh  i tròn xoay có th    tích . Oy  V  H  u như Ox V   không   b  ng Oy V   . Chúng ch    b  ng nhau trong m  t s    trư  ng h  p đ  c bi  t.  4)    ng d  ng tính th    tích kh  i c  u, kh  i ch  m c  u và m  t s    hình đ  c bi  t  a)   Th    tích c  a kh  i c  u  Trong h    t  a đ    Oxy cho n  a đư  ng tròn có phương trình: (   )  2 2 2  :   r y x P   = +  v  i 0;   0 r   y       (hình v  ). Quay n  a hình tròn đó  quanh tr  c hoành ta đư  c m  t m  t c  u có bán kính . r  Th    tích c  a m  t c  u này là: (   )  3 4 3  V   r      =   .  Th  t v  y: Ta có 2 2 2 2 2   x r y r y x     =  = +  V  i 0  y   ta có: 2 2   x r y    =   có đ    th    là n  a đư  ng tròn phía  trên tr  c hoành.  Khi đó th    tích kh  i c  u (   )  (   )  3 2 2   2   2   2   2 0   0  2   2   3  r r   r r  x V   r   x   dx   r   x   dx   r x            =      =      =                

Chuyên đề trắc nghiệm ứng dụng tích phân tính thể tích

CH       12:    NG D  NG TÍCH PHÂN TÍNH DI  N TÍCH A. LÝ THUY  T  1) Công th  c tính di  n tích c  a hình ph  ng gi  i h  n b    th    hàm s   Cho hai đồ   th    c  a hai hàm s    (   )   (   ) , =   = y   f   x   y   g   x   liên t  n  [   ] ; a b   và hai đườ ng th  ng   (   ) ; =   =   < x   a x   b a   b   . Khi đó hình phẳ ng gi  i h  n   b  i   b     ng   (   )   (   ) , =   = y   f   x   y   g   x   và   hai    ng   th  ng ; =   = x   a x   b   có   diệ n   tích   S    c   tính   theo   công   th  c:  (   )   (   ) =      b a S   f   x   g   x   dx   .   c bi  t:   Trong trườ ng h    (   ) g   x   là tr  c hoành (   (   )   0 = g   x   ) ta đư ợ c công th  n tích c  phẳ ng gi  i h  n b    th    hàm s    (   ) = y   f   x , tr  ng th  ng   , =   = x   a x   b là: ( )  b a S   f   x   dx =      (1).     tính diệ n tích   S   ta phải tính tích phân (1), muố n v    tuyệt đố i:     N    (   )   [   ] 0,   ;     f   x   x   a b   thì   (   )   (   ) =   =      b   b a   a S   f   x   dx   f   x dx   .     N    (   )   [   ] 0,   ;     f   x   x   a b   thì   (   )   (   ) (   ) =   =         b   b a   a S   f   x   dx   f   x   dx   .  Muốn xét dấu củ a bi  c   (   ) f   x   ta thường có mộ t s    cách làm như sau:     Cách 1:   S    dụ ng b    (   ) f   x   v  i ghi nh    qua nghiệ m b  i l    (   ) f   x    m b  i ch  n   (   ) f   x   không đổi dấu.     Cách 2:   D    th    c  a hàm s    (   ) = y   f   x   trên đoạ n   [   ] ; a b      suy ra dấu củ a   (   ) f   x   trên đoạn đó:  - N  n   [   ] ; a b      th    hàm s    (   ) = y   f   x   n  m   phía trên trục hoành thì   (   )   [   ] 0,   ;     f   x   x   a b   . - N  n   [   ] ; a b      th    hàm s    (   ) = y   f   x   n  i tr    (   )   [   ] 0,   ;     f   x   x   a b   .     Cách 3:   N    (   ) f   x   không đổi dấu tr    [   ] ; a b   thì ta có:   (   )   (   ) =   =      b   b a   a S   f   x   dx   f   x dx   .     Cách 4:   S    dụng máy tính   CASIO , tuy nhiên xu hướng ra đề   thi   THPT Qu  c gia   s    h  n ch    CASIO  nên c  i t  n ch  t!  Chú ý:  -   Khi tính diệ n tích c  ng gi  i h  n b    th    hàm s    ta có:(   )   (   )   (   ) =      =      b   b a   a S   f   x   g   x   dx   h x   dx   ta làm hoàn toàn tương tự   như trên.  - N    bài không cho các đườ ng th  ng gi  i h  n   ; =   = x   a x   b ta gi    (   )   (   ) = f   x   g   x   (ho  c  (   )   0 = f   x   trong trườ ng h    (   ) g   x   là tr    tìm cậ n c   2)    ng d  ng tính di  n tích hình tròn và hình Elip a) Tính di  n tích hình tròn  Trong h    t    Oxy   cho đường tròn có phương trình:   (   ) 2   2   2   0 +   =   > x   y   r   r   . Khi đó hình tròn đó có diệ n tích là:   2  = π S   r . 2   2   2   2   2  +   =      = ±    x   y   r   y   r   x Ta   có  V  i   0  y   , ta có:   2   2  =    y   r   x   có đồ   th    là n  c hoành. B  t   sin = x   r   t   ta có diệ n tích 2 2   2   2   2 1 0 2   2   =      =      =      r   r r r S   r   x dx   r   x dx   .  Do đó   2 1 2 =   = π S   S   r   .  b) Tính di  n tích hình Elip  Trong h    t    Oxy cho   elip có phương trình:  2   2 2   2   1, 0 +   =   <   <  x   y   b   a a   b   .  Ch    ta có diệ n tích c  a   elip là:   = π S   ab   (đvdt).

Chuyên đề trắc nghiệm ứng dụng tích phân tính diện tích

CH       6: NGUYÊN HÀM C  NG GIÁC A. LÝ THUY  T 1. M  t s    công th  ng giác c  n nh   H  ng th  ng giác:   2   2   2   2 2   2 1   1 sin   x   cos x   1;   1   cot   x;   1   tan   x sin   x   cos x  +   =   =   +   =   + - Công th  c c  ng:  (   ) (   ) (   ) sin a   b   sin a.cos b   sin b cosb cos a   b   cos a.cos b   sin a.cos b tan a   tan b tan a   b   1   tan a.tan b     =       =     =    - Công th    2   2   2   2 sin 2a   2sin a cos a cos 2a   cos a   sin a   2 cos a   1   1   2sin a  =     =      =      =      - Công th  c h    b  c:   2   2 1   cos 2a   1   cos 2a sin a   ;cos a 2   2     + =   = - Công th  c nhân ba: 3 3 sin 3a   3sin a   4sin a cos 3a   4 cos a   3cos a     =        =      - Công th  c bi  i tích thành t  ng:   (   )   (   )  1 cos a.cos b   cos a   b   cos a   b 2  =   +   +             (   )   (   )   (   )   (   )  1   1 sin .a sin b   cos a   b   cos a   b   ;sin a.cos b   sin a   b   sin a   b 2   2  =         +   =   +   +                         2. M  t s    nguyên hàm lượng giác cơ bả n(   )   (   ) (   )   (   )  (   )   (   ) (   ) 1 2 3 4 2 5 2 6 7   2 8   2 9   2 I   sin xdx   cos x   C 1 I   sin ax dx   cos ax   C a I   cos xdx   sin x   C 1 I   cos ax dx   sin ax   C a 1   cos 2x   x   sin 2x I   sin   xdx   dx   C 2   2   4 1   cos 2x   x   sin 2x I   cos xdx   dx   C 2   2   4 dx I   tan x   C cos x dx   1 I   tan ax   C cos   ax   a dx I   sin   ax  =   = −   + =   = −   + =   =   + =   =   +  =   =   =      + + =   =   =   +   + =   =   + =   =   + =   =               (   )   (   ) 10   2 11 12 2 13   2 2 14   2 cot x   C dx   1 I   cot ax   C sin   ax   a sin xdx I   tan xdx   ln cos x   C cos x cos xdx I   cot xdx   ln sin x   C sin x 1 I   tan   xdx   1 dx   tan x   x   C cos x 1 I   cot   xdx   1 dx   cot x   x   C sin   x     + =   = −   + =   =   = −   + =   =   =   +     =   =      =      +             =   =      =      +                            3. Các d  ng g  p D  ng 1:   Nguyên hàm   m   n I   sin   x.cos   xdx =     - TH1:   N  u   2k   n m   2k   1   I   sin   x.cos   x.sin xdx =   +      =     (   )   (   )  k 2   n 1   cos x   .cos   xd cos x = −           t t   cos x =  - TH2 : N  u   n   2k   1 =   +       t   t   s inx =  - TH3 : N  u ch  n ta dùng công th  c h    b  c  Chú ý : Đố i v  i nguyên hàm ch    ch  a sinx và cosx d  ng.  (   )   (   )   (   ) I   f   sin x cos xdx   f   sin x d sin x =   =           t t   s inx =  (   )   (   )   (   ) I   f   cos x sin xdx   f   cos x d cos x =   = −           t   t   cos x =  D  ng 2:   Nguyên hàm   m   n dx I   sin   x.cos   x  =   

Chuyên đề trắc nghiệm nguyên hàm của hàm lượng giác

CH       11:   TÍCH PHÂN ĐẶ C BI  T VÀ NÂNG CAO 1) M  t s    d  c bi  t      1:   N  u   f(x)   là hàm s    ch  n và liên t  n   [   ] a;a    thì a   a a   0 f (x)dx   2 f (x)dx   =         M    2:   N  u   f(x)   là hàm s    l    và liên t  n   [   ] a;a    thì a a f (x)dx   0   =       3:   N  u   f(x)   là hàm s    ch  n và liên t  n   [   ] a;a    thì a   a x a   0 f (x) dx   f (x)dx m   1  = +          4:   N  u   f(x)   là hàm s    liên t  c trên   [   ] 0;1 thì 2   2 0   0  f (s inx)dx   f (cos x)dx      =         ch  c bi  ng ta s    d    phương pháp đổ i bi  n   như sau:     V  i a a I   f (x)dx   =      ta có th    l  a ch  n vi  t x   t = −     V  i 2 0 I   f (x)dx   =      ta có th    l  a ch  n vi  t t   x 2   =        V  i 0 I   f (x)dx   =      ta có th    l  a ch  n vi  t   t   x = π −     V  i 2 0 I   f (x)dx   =      ta có th    l  a ch  n vi  t   t   2   x =     Ví d    1:   Cho   f(x)   là hàm s    l    liên t  n   [   ] 1;1    và 1 0 f (x)dx   10   =    . Tính 1 0 I   f (x)dx =     A.   5 I   = −   B.   5 I   =   C.   10 I   = −   D.   10 I   =  L  i gi  i  Do   f(x)   là hàm s    l    nên 1   0   1 1   1   0 f (x)dx   f (x)dx   f (x)dx   0      =   +   =        1   0   1 0   1   0 f (x)dx   f (x)dx   f (x)dx   10       = −   =   =          Ch  n D. Ví d    2:   Cho   f(x)   là hàm s    ch  n và liên t  n   [   ] 3;3    và 0 3 f (x)dx   2   =    . Tính 3 3 I   f (x)dx   =     A.   2 I   =   B.   4 I   =   C.   2 I   = −   D.   4 I   = −  L  i gi  iDo   f(x)   là hàm s    ch  n nên 3   0   3 3   3   0 I   f (x)dx   2   f (x)dx   2 f (x)dx   2.2   4      =   =   =   =   =          .   Ch  n D. Ví d    3:   Gi    s    tích phân  2 2 3 x 2  x   cos x  I   dx   a   b   c 1   3     + =   =       +    , trong đó   , , a b c         . Tính S   8a   4b   c =   +   +  A.   5 3   B.   4 3   C.   8 3   D.   2 3  L  i gi  i   t   t   x   dt   dx = −      = −   và đổ i c  n   2   2 2   2  x   t x   t        = −      = =      = −  Khi đó  2   2   2 2   2   2 2   2   2  (   )   (   )   cos   cosx   3 3   1 1   3   1   3 3  x t t   x t t   cos   t   t   t   x I   dt   dt   dx                 +      +   + = −   =   = + +   +         3   3 2   2 2 2 2 1   1  2   (   cosx)   s inx   1   ;   0;   1  2   3   24   24  x I   x   dx   I   a   b   c                =   +      =   +   =   +      =   =   =           Do đó   4 3  S   =   .   Ch  n B. Ví d    4:   Gi    s    tích phân   2 2 0 x sin xdx I   a   b   c  1   cos x   =   =       +    , trong đó   , , a b c         . Tính S   a   b   c =   +     A.   1 2  = S   B.   1 2   = S   C.   1 4  = I   D.   1 4   = I  L  i gi  i   t   2   2   2   2 0   0   0   0 x sin xdx   (   t) sin(   t)   (   t) sint   (   x) sinx dx t   x   I   ( dt)   dt  1   cos x   1   cos (   t)   1   cos t   1   cos x                      = π −      =   =      =   = +   +      +   +            Khi đó  1   2 4 v   tan u 2   2   2 0   0   1 4  sin xdx   d(cos x)   du  2I   du  1   cos x   1   cos x   1   u   2           =      = π   = π   = −π       = +   +   +            Do đó  2   1   1 ;   0 4   4   4  =      =   =   =      = I   a   b   c   S     .   Ch  n C. 2) M  t s    d  ng tích phân v  n d  ng cao    ng 1.   Bài toán tích phân liên quan đến các biểu thức sau:  (1) .   ( ).   '( )   '(x).f(x)   h(x) +   = u x   f   x   u

Chuyên đề trắc nghiệm tích phân đặc biệt và nâng cao

CH       7: CÁC CÔNG TH  C   CƠ BẢ N V    TÍCH PHÂN I. LÝ THUY  T TR  NG TÂM  1. Khái ni  m hình thang cong  Cho hàm s    ( ) y   f   x =   liên t  i d  u trên    n   [   ] ; a b   . Hình ph  ng gi  i h  n b    th    c  a hàm s    ( ) y   f   x =   , tr  ng th  ng   , x   a x   b =   =    c g  i là   hình thang cong.  2. Tích phân là gì?     ( ) f   x   là hàm s    liên t  n   [   ] ; a b   . Gi    s    F( ) x   là m  t nguyên hàm c  a   ( ) f   x   trên   n   [   ] ; a b   . Hi  u s    (   )   (   ) F b   F   a     c g  i là   tích phân   t    a    n   b   (hay tích phân xác định trên đoạ n  [   ] ; a b   ) c  a hàm s    ( ) f   x , kí hi  u là   (   )  b a f   x dx    . Ta còn dùng kí hi  u   (   )   b a F x      ch    hi  u s    (   )   (   ) F b   F   a  V  y   (   )   (   )   (   )   (   )  b   b a a f   x dx   F b   F   a F x =   =     Ta g  i  b a     là d  u tích phân,   a   là c  i,   b   là c  n trên,   (   ) f   x dx là bi  u th  i d  u tích phân và   ( ) f   x là hàm s    dướ i d  u tích phân.     Chú ý:   Trong trườ ng h  p   a   b =   ho  c   a   b >   , ta quy ướ c   (   )   0 =   a a f   x dx   ;   (   )   (   )  b   a a   b f   x dx   f   x dx = −         Nh  n xét:   Tích phân c  a hàm s    f   t    a    n   b   có th    kí hi  u b  i   (   )  b a f   x dx    hay   ( )  b a f   t dt    . Tích phân     ph    thu  c vào   f   và các c  n   a, b   mà không ph    thu  c vào bi  n s    x   hay   t.  T    (   )   ( )   (   )  b   b   b a   a   a f   x dx   f   t dt   f   u du =   =             c c  a tích phân  N  u hàm s    ( ) f   x   liên t  n   [   ] ; a b   , thì tích phân   (   )  b a f   x dx    là di  n tích   S   c  a hình thang cong gi  i h  n b    th    c  a   ( ) f   x , tr  c   Ox   và hai đườ ng th  ng   , x   a x   b =   =   . V  y   (   )  b a S   f   x dx =     - Tính ch  t 1:   (   )   (   )  b   b a   a kf   x dx   k   f   x dx =       (v  i   k   là h  ng s  )- Tính ch  t 2:   (   )   (   )   (   )   (   )  b   b   b a   a   a f   x   g   x   dx   f   x dx   g   x dx        =                - Tính ch  t 3:   (   )   (   )   (   )   (   )  b   c   b a   a   c f   x dx   f   x dx   f   x dx a   c   b =   +   <   <         Chú ý:   M    r  ng c  a tính ch  t 3.  (   )   (   )   (   )   (   )   (   )  1   2 1 1   2 ...   ...  n c   c b   b n a   a   c   c f   x dx   f   x dx   f   x dx   f   x dx a   c   c   c   b =   +   +   <   <   <   <   <            II. CÁC D  NG TOÁN TR  I Ví d    Tích các tích phân sau:  A.  1 2 0 2 I   x   x dx =       B.  2   2 2 1 3   1 +   + =   +    x   x I   dx x   x   C.   (   )  1 3   1 0  x I   x   e   dx  =   +    D.  2 0 sin 1   cos   =   +    x I   dx x  L  i gi  i  a)   (   )   (   )   (   )   (   )   1 1   1   1   3 2   2   2   2   2 2   2 0   0   0 1   1   1 2 2   2   2   2   .   2 2   2   2 3  I   x d   x   x   d   x   x = −         = −         = −         (   )   1 3 2 0 1   2   2   1 2 3   3  x    = −      = b)   (   ) 2 2   2   2   2   2 2   2   2 2 2   2   2   2   1 1   1   1   1   1 3   1   2   1   5 1   ln   1   ln 3  + +   +   +   + =   =   +   =   +   =   +   +   =   + +   +   +   +                d   x   x x   x   x   x   x I   dx   dx   dx   dx   dx   x   x x   x   x   x   x   x   x   x c)   (   )   1 1   2   3   1   2 3   1 0   0 1   1 2   3   2   3   3  x x   x   e   e I   x   e   dx   e          =   +   =   +   =   +             d)   (   ) 2   2 2 0 0   0 d cos sin   ln 1   cos   ln 2 1   cos   1   cos     =   = −   = −   +   = +   +       x x I   dx   x x   x  Ví d    2:   Tính các tích phân sau:  A.  2 1   3  dx I   x   x  =   +   +    B.   (   )  ln 2   2 0 1 x   x I   e   e   dx =      C.  3 2 0 1 I   x   x   dx =   +    D.   (   )  3 2 0 3   16 I   x x   x   dx =   +   +   L  i gi  i  a)   (   )  (   ) (   ) 2   2   2 1   1   1 3   3 3 3   3   3  x   x   dx dx   x   x I   dx x   x   x   x   x   x  +      +    =   =   = +   +   +   +   +          

Chuyên đề trắc nghiệm các công thức cơ bản về tích phân

CH       8: PHƯƠNG PHÁP ĐỔ I BI    TÍNH TÍCH PHÂN  1)    nh lí:   Cho hàm s    (   ) f   x   liên t  n   [   ] ;   . a b   Gi    s    hàm s    ( ) x   t   =   có đạ o hàm liên t  c trên   n   [   ] ;     sao cho   (   )   (   ) ; a   b         =   =   và   ( ) a   t   b         v  i m  i   [   ] ;   . t     Khi đó   (   )   ( ) (   )   ( ) '   .  b a f   x dx   f   t   t dt        =      Chú ý:   Trong nhi  ng h  p ta còn s    d  ng phép bi  i bi  n s       d  ng sau:     Cho hàm s    (   ) f   x   liên t  c trên    n   [   ] ;   . a b      tính   (   )  b a f   x dx    , đôi khi ta chọ n hàm s    (   ) u   u   x =   làm bi  n s    m  n   [   ]   (   ) ;   , a b   u   x   có đạ o hàm liên t  c và   (   )   [   ] ;   . u   x        Gi    s    có th    vi  t   (   )   (   ) (   )   (   )   [   ] '   ,   ;   , f   x   g u   x   u   x   x   a b =      v  i   (   ) g u   liên t  n   [   ] ;   .    Khi đó, ta có   (   )   (   ) (   ) (   )  .  u b b a   u a f   x dx   g u du =      2) Các d  ng toán tr  ng tâm    i bi  n s    v  i các hàm vô t    quen thu  c     Trong bi  u th  c c  a   (   ) f   x dx có ch  ng   t .     Trong bi  u th  c c  a   (   ) f   x dx có ch  a bi  u th  a b  t bi  u th  ng   t .     Trong bi  u th  c c  a   (   ) f   x dx có ch  i bi  u th  t hàm s    thì đặ t bi  u th  c  trên mũ bằ ng   t .  Ví d    1: Tính các tích phân sau b  ng phương pháp đ     a)  4 0 . 3   2   1  dx I   x  =   +   +    b)  ln 3 0 . 1 x dx I   e  =   +    c)  9 3 1 . 1   . I   x   xdx =       d)  1 2 0 2   . 4  I   dx x  =      L  i gi  i  Chú ý:    i bi  n nh    ph  i c  n.  a)    t   2 2   1   2   1   . t   x   t   x   dx   tdt =         =   +      =    i c  n   0   1. 4   3  x   t x   t  =      =     =      =   Khi đó   (   )  3   3   3 1 1   1 3   2 1   3ln   3   3   3.ln 6   1   3.ln 4   2   3.ln   . 3   3   3  t I   dt   dt   t   t t   t      =   =      =      +   =         +   =   +     +   +          b)    t   2 2 2 1   1   2   . 1  x   x   x   t t   e   t   e   tdt   e dx   dx   dt t  =   +      =   +      =      =      i c  n   0   2 , ln 3   2  x   t x   t     =      =     =      =    khi đó   (   )  2 2 2 2 2 1 2   ln   ln 3 3   2   2 . 1   1  dt   t I   t   t   =   =   = −       + c)    t   3   2 3   1   1   3   . t   x   t   x   t dt   dx =         =         = −    i c  n   1   0 9   2  x   t x   t  =      = =      = −  Khi đó   (   ) (   )   (   )  2   2   2 7   4 3   2   6   3 0 0   0 468 1   3   3   . 7   4   7  t   t I   t   t   t   dt   t   t   dt                =         =      =      =              d)    t   [   ] (   ) 2sin   2 cos   0;   . x   t   dx   tdt t   =      =       i c  n 0   0 . 1   6  x   t x   t   =      =      =      =    Khi đó  6   6   6   3 2 0   0   0   0 4 cos   4 cos   2   2   . 2 cos   3 4   4sin  t   t I   dt   dt   dt   t t t         =   =   =   =   =          Ví d    2:   [Đề   thi THPT Qu  c gia 2018]   Cho 55 16 ln 2   ln 5   ln11 9  dx   a   b   c x   x   =   +   + +    v  i   , , a b c là các s    h  u t  . M    nào dưới đây là đúng.  A.   . a   b   c    = −   B.   . a   b   c +   =   C.   3 . a   b   c +   =   D.   3 . a   b   c    = −  L  i gi  i   t   2 9   9   2   . t   x   t   x   tdt   dx =   +      =   +      =    i c  n   16   5 55   8  x   t x   t  =      = =      =  Khi đó   (   )   (   )(   )  8   8   8 2 5 5   5 2   2   2   3   1   5   1   1   2   1   1 ln   ln   ln   ln 2   ln 5   ln11 3   3   6   3   3   11   3   4   3   3   3 9  tdt   dt   t I   t   t   t t   t   =   =   =   =      =   +       +   +       Do đó   2   1   1 ;   ;c   . 3   3   3  a   b   a   b   c =   =   = −         = −   Ch  n A. Ví   d    3:   Cho 6 2 ln 3   ln 2 2   1   4   1  dx I   a   b   c x   x  =   =   +   + +   +   +    v  i   , , a b c   là   các   s    h  u   t  ,   tính   t  ng 4   12 . A   a   b   c =   +   +  A.   2. A   = −   B.   4. A   = −   C.   4. A   =   D.   2. A   =  L  i gi  i   t   2 4   1   4   1   2   . t   x   t   x   tdt   dx =   +      =   +      =    i c  n   6   5 2   3  x   t x   t  =      = =      =  Khi đó  5   5   5   5 2   2 2 3 3   3   3 1   1   1   1   3   1 ln   1   ln 2   (t   1)   1   (t   1)   1   2   12 1 2  tdt   tdt I   dt   dt   t t   t t   t            =   =   =      =   +   +   =              +   +   +   +     +           +                 1   1 ln 3   ln 2   1;   1; 12   12  a   b   c    =            =   = −   =  Do đó   4   12   1   4   1   4. A   a   b   c =   +   +   =         = −   Ch  n B.    i bi  n s    v  i hàm    n

Chuyên đề trắc nghiệm phương pháp đổi biến số tính tích phân

CH       9: CÔNG TH  C T  NG PH  N TÍNH TÍCH PHÂN I. LÝ THUY  T TR  NG TÂM  Công th  c tích phân t  ng ph  n:   N  u   (   ) u   u   x =   và   (   ) v   v x =   là hai hàm s    có đạ o hàm liên t  n  [   ] ; a b   thì   (   )   (   )   (   )   (   )   (   )   (   )  b   b b a a   a u   x v   x dx   u   x v x   u   x v x dx     =                Hay  b   b b a a   a udv   uv   vdu =         II. CÁC D  NG TOÁN TR  I D  ng 1: S    d  ng công th  c tích phân t  ng ph  n Ví d    1:   Cho tích phân   2 0 cos I   x   xdx   =      và   2   ;   cos u   x   dv   xdx =   =   . Kh   A.   2 0   0 sin   sin I   x   x   x   xdx    =         .   B.   2 0   0 sin   sin I   x   x   x   xdx    =   +      .  C.   2 0   0 sin   2   sin I   x   x   x   xdx    =   +      .   D.   2 0   0 sin   2   sin I   x   x   x   xdx    =         .  L  i gi  i  Ta có 2 2 0   0 2   sin   2   sin sin cos  du   xdx u   x   I   x   x   x   xdx v   x dv   xdx    =    =          =          = =          .   Ch  n D.  Ví d    2:   Cho tích phân   (   )  2 2 0 2   1   x x   e dx   ae   be   c +   =   +   +    (   ) , , a b c         2   2   2  S   a   b   c =   +   +  A.   13 S   =   .   B.   10 S   =   .   C.   5 S   =   .   D.   8 S   =   .  L  i gi  i   t   (   )   (   )   (   ) 2   2 2   2   2 0   0 0   0 2   1   2   2   1   2   1   2   1   3   1 x   x   x   x x   x u   x   du   dx   x   e dx   x   e   e dx   x   e   e du   e dx   v   e  =   +   =           +   =   +      =      =   +     =   =           Suy ra   2   2   2 3;   0;   1   10 a   b   c   S   a   b   c =   =   =      =   +   +   =   .   Ch  n B.  Ví d    3:   Cho tích phân   (   ) 2 2   2 0 1 sin I   x   xdx   a   b   c   =   +   =          v  i   , , a b c         2   2   2  T   a   b   c =   +   +  A.   9 T   =   .   B.   12 T   =   .   C.   2 T   =   .   D.   10 T   =   .  L  i gi  i   t 2   2 1 cos sin  du   xdx u   x v   x dv   xdx  =    =   +           = − =    Khi đó   (   )   2   2 2   2 0 0   0 1 cos   2   cos   1   2   cos I   x   x   x   xdx   x   xdx       = −   +   +      +     Xét tích phân 2 0 cos J   x   xdx   =      , ta đặ t   cos   sin  u   x   du   dx dv   xdx   v   x  =   =          =   =      Khi đó  2   2 2 0 0 0 sin   sin   cos   1 2   2  J   x   x   xdx   x             =      =   +   =     V  y 0 1   1   2 1  a I   b   T c  =   = π −      =      =     = −  .   Ch  n C.  Ví d    4:   Cho tích phân   (   )  3 2 2 3   1 ln   ln 3   ln 2 I   x   xdx   a   b   c =   +   =   +   +    v  i   , , a b c         kh   A.   3 a   b =   .   B.   3 a   b = −   .   C.   40 a   b +   =   .   D.   20 a   b    =   .  L  i gi  i   t   (   )   (   )   (   )  3 3 3   2 2   2 3   2 ln   ln   1 3   1  dx u   x   du   I   x   x   x   x x dv   x   dx   v   x   x   =    =           =   +      +     =   +        =   +   3 3 2 22 30 ln 3   10 ln 2   30 ln 3   10 ln 2   30;   10;   3 3   3  x   x   a   b   c   b      =         +   =            =   = −   = −         .   Ch  n B.  Ví d    5:   Cho   (   ) 4 1 ln   1   .ln 3   .ln 2  x I   dx   a   b   c x  + =   =   +   +    , v  i   , , a b c        ng   a   b   c +   +   b  ng  A.   8.   B.   4.   C.   12.   D.   0.  L  i gi  i   t  (   )   (   )  (   )  ln   1   2   1 2   1  dx u   x   du   x   x dx v   v   x x      =   +   =        +      =       =   +       , khi đó   (   )   (   )   4 4 1   1 2   1 ln   1   dx I   x   x   x  =   +   +        (   )   (   )   4   4 1 1 6 2   1 ln   1   2   6.ln 3   4.ln 2   2   .ln 3   .ln 2   4 2  a x   x   x   a   b   c   b c  =   =   +   +      =         =   +   +      = −     = −  V  y t  ng   6   4   2   0 a   b   c +   +   =         =   .   Ch  n D.

Chuyên đề trắc nghiệm công thức từng phần tính tích phân

CH       10: TÍCH PHÂN HÀM H  U T    VÀ LƯỢ NG GIÁC Ví d    Tính các tích phân sau:  a)  3   2 3 2 7   3   2   .  x   x   dx x   x          b)   (   ) 3 3 2 7   4   . 3   2  x   dx x   x      +   c)  2 2 6 sin sin 3  xdx I   x    =      d)  (   )  4 3 2 0 tan   1   . cos   2 tan   1  x I   dx x   x   + =   +   L  i gi  i  a)    ng nh  t h    s  : 2 7   3   2 (   1)(   1)   1   1  x   x   A   B   C x x   x   x   x   x        =   +   +    +      +  (   )(   )   (   )   (   ) 2 7   3   2   1   1   1   1   (1) x   x   A x   x   Bx x   Cx x          =      +   +   +   +    Xét PT (1) cho 1   2   2   1 0   2   2 1   8   2   4  x   B   B x   A   A x   C   C     =      =   =      =      = −      =         = −      =   =    Khi đó ta có   (   )  3   3 2 2 2   1   4   2 ln   ln   1   4 ln   1 1   1  I   dx   x   x   x x   x   x      =   +   +   =   +      +   +        +       3   4 2 ln   ln 2   4 ln   . 2   3  =   +   +  b)    ng nh  t  (   ) (   )   (   ) 3   2   2 7   4   7   4 1   2 3   2   1   2   1  x   x   A   B   C x   x x   x   x   x   x      =   =   +   +    +    +      +     Ta có   (   )  (   )  3   3   3 3   2 2 2   2 7   4   1   2   2   1   1   1   8 2 ln   2 ln   . 1   2   1   2   2   5 3   2   1  x   dx   x I   dx x   x   x   x x   x   x                   =   =   +      =   +   =   +              +      +    +                       c)   (   ) 2   2 2   2   2   2 3   2   2 6   6   6   6 cos sin   sin   sin sin 3   3sin   4sin   3   4sin   4 cos   1  d   x xdx   xdx   xdx I   x   x   x   x   x          =   =   =   = −                   (   )(   )   (   )  3   3 0   2   3 cos 2 0 3   0 2 1   2   1   1 ln   ln 2   3 2   1   2   1   4   2   1   4 4   1  t   x   dt   dt   t I   t   t   t t  =        =   =   =   =       +   +      d)   Ta có  (   )  4 3 2 0 tan   1   . cos   2 tan   1  x I   dx x   x   + =   +     t   2 1 tan   . cos  t   x   dt   dx x  =      =   i c  n 0   0 1 4  x   t x   t   =      = =      =(   )   (   )   (   )   (   )   (   ) 1   1   1   1   1 3   3   2   3   2 0 0   0   0   0 1   1   2   1   1   1   1   1   1   1   5 . 2   2   2   4   2   1   18 2   1   2   1   2   1   2   1   2 2   1  t   t   dt   dt I   dt   dt   t t   t   t   t   t      +   +   +          =   =   =   +   =         =     + +   +   +   +   +                Ví d    2:   Cho tích phân 1 2 0 ln 2   ln 3 2   3   1  xdx I   a   b   c x   x  =   =   +   + +   +    v  i   , ,   . a b c         Tính giá tr    c  a bi  u th  c 2   3 . T   a   b   c =   +   +  A.   0 T   =   B.   2 T   =   C.   2 T   = −   D.   1 T   = −  L  i gi  i  (   )(   )  (   )   (   ) (   )(   ) 1   1   1 2 0   0   0 2   1   1 2   1   1   2   1   1 2   3   1  x   x xdx   xdx I   dx x   x   x   x x   x  +      + =   =   = +   +   +   + +   +        1 0 1 ln 2   1 1   1   1   1 ln   1   ln 2   ln 3 1   2   1   2   2   2 0  a x dx   x   b x   x c  =      +           =      =   +      =         = −            +   +                =     Do đó   2   0. T   a   b   c =   +   +   =   Ch  n A  Ví d    3:   Cho tích phân 4   2 2 3 2   4   1   ln 5   ln 3  x   x I   dx   a   b   c x   x  +   + =   =   +   + +    v  i   , ,   . a b c         Tính giá tr    c  a bi  u th  c 2  T   a   bc =   +  A.   5 T   =   B.   3 T   =   C.   1 T   =   D.   1 T   = −  L  i gi  i  (   )   (   ) 2   2 4   4   4   4 2 2   2 3 3   3   3 2   2   1   20 2   2   ln   2   ln 12  x   x   x   d   x   x I   dx   dx   x   x x   x   x   x  +   +   +   + =   =   +   =   +   +   =   + +   +        1 5 2   ln   ln 5   ln 3   2   1   1. 3   2  a b   T c  =   =   +   =      +      = −      = −     =   Ch  n D Ví d    4:   Cho tích phân ln 2 0 ln 2   ln 5 3   2 x dx   a   b   c e   =   +   + +    v  i   , ,   . a b c       Tính giá tr    c  a bi  u th  c   3   2 . T   a   b   c =   +   +  A.   1 T   = −   B.   2 T   = −   C.   1 T   =   D.   1 T   = −  L  i gi  i   t   . x   x t   e   dt   e dx   tdx =      =   =    i c  n   0   1 ln 2   2  x   t x   t  =      = =      =  Khi đó   (   )  (   ) (   )  2   2   2 1   1   1 3   2   3 1   1   1   3 3   2   2   3   2   2   3   2  t   t dt I   dt   dt t   t   t   t   t   t  +          =   =   =        +   +   +           

Chuyên đề trắc nghiệm tích phân hàm hữu tỉ và hàm lượng giác

CH       5: NGUYÊN HÀM C  A HÀM H  U T   A. LÝ THUY  T I. Các công th  c c  n nh   (1).   1   dx   1 dx   ln x   a   C   ln ax   b   C x   a   ax   b   a  =   +   +      =   +   + +   +      (2).   2   2 dx   1   x   a ln   C x   a   2a   x   a   =   +    +   (3).   2   2   2   2 1   1   x   1   1   u dx   arctan   C   du   arctan   C x   a   a   a   u   a   a   a  =   +      =   + +   +      II. Nguyên hàm d  ng   (   ) (   )  P x dx I   Q x  =     N  u b  c c  a t    s    l  c c  a m  u s    th  c hi  c ta có:  (   ) (   )   (   )   (   ) (   ) P x   P ' x g x   . Q x   Q x  =   +   Dưới đây là mộ t s    d  ng g  p.     D  ng 1:   (   ) P x dx I   ax   b  =   +   Phân tích:   (   )   (   )  P x   k g x ax   b   ax   b  =   + +   +   khi đó   (   )   dx I   g x dx   k   ax   b  =   +   +         D  ng 2:   2 mx   n I   dx ax   bx   c  + =   +   +      Trườ ng h  p 1:   2 b   4ac   0       >  Phân tích:   (   )(   ) 2 1   2   1   2 mx   n   mx   m   1   A   B ax   bx   c   a x   x   x   x   a   x   x   x   x      +   + =   =   +     +   +                  (Đồ ng nh  t h    s       tìm A, B).  (   ) 1   2 1 I   A ln x   x   Bln x   x   C. a     =      +      +     Trườ ng h  p 2:   2 b   4ac   0       =  (   )  (   ) (   )   (   )   (   )  0 2   2   2 2 0 0   0   0 m x   x   p mx   n   mx   n   m   P a.x   bx   c   a x   x a x   x   a x   x   a x   x     + +   + =   =   =   + +   +               Trườ ng h  p 3:   2 b   4ac   0       <  Phân tích:   (   )  (   ) 2 2   2 0 k 2ax   b mx   n   p ax   bx   c   ax   bx   c   a x   x   q  + +   =   + +   +   +   +      +  Khi đó   (   )  (   )  2 2 2   2 0 kd ax   bx   c   p   1 I   dx ax   bx   c   a   x   x   n  +   + =   + +   +      +       D  ng 3:   (   ) (   )  P x dx I   Q x  =      v  i   (   )   3   2 Q x   ax   bx   cx   d =   +   +   +     Trườ ng h  p 1:   (   )(   )(   ) 3   2 1   2   3 ax   bx   cx   d   a x   x   x   x   x   x +   +   +   =           Phân tích:   (   ) 3   2 1   2   3 P x   A   B   C ax   bx   cx   d   x   x   x   x   x   x  =   +   + +   +   +            Trườ ng h  p 2:   (   )(   ) 2 3   2 1   2 ax   bx   cx   d   a x   x   x   x +   +   +   =        Phân tích:   (   )  (   ) 2 3   2 1   2 P x   A   Bx   C ax   bx   cx   d   x   x   x   x  + =   + +   +   +           Trườ ng h  p 3:   (   )   (   ) 3   2   2 1 ax   bx   cx   d   a x   x   mx   nx   p +   +   +   =      +   +   trong đó   2 mx   nx   p   0 +   +   =   vô nghi  m.  Phân tích:   (   )  3   2   2 1 P x   A   Bx   C ax   bx   cx   d   x   x   mx   nx   p  + =   + +   +   +      +   +     D  ng 4: [Tham kh  o và nâng cao]:   (   )  4   2 P x dx I   x   a  =       trong đó bậ c c  a P(x) nh    hơn 4.   Trườ ng h  p 1:   (   )  4   2 P x dx I   x   a  =   +   Phân tích:   (   )   (   )   (   ) 2   2   3 4   2   4   2 A x   a   B x   a   Cx   Dx P x x   a   x   a  +   +      +   + = +   +  Khi đó ta có:  2   2 1   1 2   2 4   2   2 2 2 a a   d   x 1 x   a   du x x I   dx   dx   I a x   a   u   2a a x   x   2a x   x       +       +       =   =   =      = +   +     +      +                    2   2 2   2 2   2 4   2   2 2 2 a a   d   x 1 x   a   du x x I   dx   dx   I a x   a   u   2a a x   x   2a x   x      +               =   =   =      = +        +   +                       (   ) 4   2 3 4   2 3   4   2   4   2 d x   a x dx   1   1 I   ln x   a   C x   a   4   x   a   4  + =   =   =   +   + +   +      (   ) 2 4   4 4   2   4   2   2   2 d x xdx   1   1   du I   I   . x   a   2   x   a   2   u   a  =   =      = +   +   +        T       (   )  4   2 P x dx I   x   a  =   +      Trườ ng h  p 2:   (   )  4   2 P x dx I   x   a  =    

Chuyên đề trắc nghiệm nguyên hàm của hàm hữu tỉ

TÀI LIỆU TỔNG ÔN TẬP TNTHPT 2020

TÍCH PHÂN

Vấn đề 14

A. ĐỊNH NGHĨA – TÍNH CHẤT CỦA TÍCH PHÂN
b

b

với F  x  là một nguyên hàm của f  x  trên  a; b .

 f  x  dx  F  x  a  F  b   F  a 

a) Định nghĩa:

a

b) Tính chất:
a

b

 f  x  dx  0


b

a

a

 f  x  dx    f  x  dx

a

a

b

kf  x  dx  k  f  x  dx (k là hằng số)



a

c

b

c

a

a

b

b

a

 f  x  dx   f  x  dx   f  x  dx
Nếu f  x   0, x   a; b thì

b

b

b

 f  x   g  x   dx   f  x  dx   g  x  dx
a
a

b

b

b

a

a

a

 f  x  dx   f  t  dt   f  u  du

b

 f  x  dx  0.
a

Nếu f  x   g  x  , x  a; b thì

b

b

a

a

 f  x  dx   g  x  dx.

 Đặc biệt:
Nếu hàm y  f  x  là hàm số lẻ trên  a; a thì



a

a

Nếu hàm y  f  x  là hàm số chẵn trên  a; a thì
2

Câu 1.

Nếu

3

1

Nếu

1



f  x  dx  4 thì  2 f  x  dx bằng

0

Cho

B. 4 .



1

f  x  dx  2 và

0

D. 3 .

C. 2 .

D. 8 .

0

0

B. 12 .

2



1

 g  x  dx  5 khi đó   f  x   2 g  x  dx bằng

A. 3 .
Biết

C. 1.

0

1

f  x  dx  2 và

1

A. 4 .
Biết tích phân

2

 g  x  dx  6 , 

Tổng ôn tập TN THPT 2020 môn Toán: Tích phân

Chuyªn ®Ò: Nguyªn hμm-TÝch ph©n   LuyÖn Thi §¹i Häc vμ Cao §¼ng  Nguyªn hμm - tÝch ph©n vμ c ̧c øng dông  a.tÝnh tÝch ph©n b»ng ®Þnh nghÜa  Ph   1.      sao cho:   F’(x) = f(x).      ̧ p dông b¶ng c ̧c nguyªn hμm c¬ b¶n, c ̧c hμm sè s¬ cÊp .     Neáu gaëp daïng caên thöùc ñöa veà daïng soá muõ phaân theo coâng thöùc:   , (   0)  n m   n   m x   x   m =        Neáu gaëp daïng   ( )  n P x x   thöïc hieän pheùp chia theo coâng thöùc:  1 , (   );   , (   )  m   m m   n n   n   n   m x   x x   m   n   m   n x   x   x    =   >   =   <   .     Coâng thöùc ñoåi bieán soá (loaïi 2):  Tích phaân daïng:   (   ) ( ) .   '( ) f   g x   g   x dx      (   ( ))   '( )   ( ) f   g x   g   x dx   f u du =       .  2.   Mét sè d¹ng c¬ b¶n:  1.   Sö dông c«ng thøc c¬ b¶n :  1.   Daïng   :         du = adx   dx= (   )   (   1,   0) ax   b   dx   a      +             1   du a  (   ) (   )   1 ! 1 (   )   1   (   1)  ax   b u ax   b   dx   u du   C   C a   a   a          + +   + +   =   =   +   =   + +   +      2.   Daïng   :    (   )   1   , (   0,   1) n   n ax   b   x   dx   a     +         1   1 1   1 1 1 . . 1   ( (   )   (   1)   (   1)  n u=ax   n   n n n   n b   du   a n x   dx   x   dx   du an u   ax   b ax   b   x   dx   u du   C   C an   na   na              +   +  +      =      = + +   =   =   +   = +   +       )   +  3.   Daïng :   ).   cos   sin   (   1) a   xdx          ( Ñaët  1 1 cos   sin   )   cos   sin   cos (   1)  u   x   du   xdx   x   xdx   u du   x   C      +  =      = −      = −   =   + +      ).   cos   (   1) sin   x b   xdx          (Ñaët  1 1 sin   cos   sin 1  du=cos xdx   sin   x u   x   xdx   u du   x      + =         =   =   + +       C  4.   Daïng :   1 ln   (   0)  dx   ax   b   C a ax   b   a  =   +   +    +   Neáu gaëp :   ( ) P x ax   b +   vôùi baäc   : laøm baøi toaùn chia. ( )   1 P x     GV: NguyÔn Thanh S¬n   1Chuyªn ®Ò: Nguyªn hμm-TÝch ph©n   LuyÖn Thi §¹i Häc vμ Cao §¼ng  5.   Daïng :   2 cos   (   )  dx x a   btgx +      2   2 1   1   1 ;   l cos   cos   (   ) 2 dx co s  bdx   dx   du u   a   btgx   du   du   a   btgx   C x   x   b   x a   btgx   b   u   b  =   +      =      =   =   =   +   + +       n  2.   Coâng thöùc :  (   )   '( )   ln  u u x   u   a a   u   x dx   a du   C a  =   =   +      3.   Coâng thöùc ñoåi bieán soá (loaïi 1):  Tích phaân daïng:   (   ) ( ) .   '( ) f   g x   g   x dx      (   ( ))   '( )   ( ) f   g x   g   x dx   f u du =      4.   Coâng thöùc   :  2 2 2 1 ).   ln   .(   0) 2 ).   ln  du   u   a a   C   a u   a   a   u   a du b   u   u   k   C u   k    =   +       + =   +   +   + +    5.   Coâng thöùc :  2 2   2 ln 2   2  x   x   k   k x   kdx   x   x   k   C  + +   =   +   +   +   +   3.   Mét sè d¹ng th    1.   Tích phaân daïng:   2   2   2   2 1).   (mx+n)dx   dx   (mx+n)dx 2).   3).   4).  dx ax   bx   c   ax   bx   c   ax   bx   c   ax   bx   c +   +   +   +   +   +   +             +  Tuyø vaøo moãi daïng aùp duïng caùc coâng thöùc tính tích phaân chæ trong baûng sau: Töû soá baäc nhaát   Töû soá haèng soá Maãu soá khoâng caên   ln  du   u   C u   =   +    2   2 1 ln 2   =   +    +    du   u   a   C u   a   a   u   a  Maãu soá coù caên   2  du   u   C u   =   +    2 2   ln =   +   +   + +    du   u   u   k   C u   k  Söû duïng haèng ñaúng thöùc:  2   2   2 2   2 2 (   )   (   ) 2   2 2   2  a   a x   ax   x b   b ax   bx   a   x   a   a  +   =   +                  +   =   +                                     GV: NguyÔn Thanh S¬n   2

Tóm tắt các dạng toán và bài tập Nguyên hàm – Tích phân – Nguyễn Thanh Sơn

GV: THANH TÙNG   0947141139 – 0925509968   http://www.facebook.com/giaidaptoancap3  Trang 1  10 D  NG TÍCH PHÂN HAY G  P TRONG CÁC KÌ THI   I H  C –   CAO ĐẲ NG  Trong các các kì thi    i H  c –   Cao Đẳ ng câu tích phân luôn m  nh xu  t hi  n   trong đề   thi môn Toán. Tích phân không ph  i là câu h    là m  t bài toán “nh    nhàng”, mang tính ch  t “cho    m”. Vì v  y vi  c m  m s    tr    nên “vô duyên” v  i nh      chút th  c tài li  u.      bài vi  t nh    này s   cung c  p t  i các em các d  ng xuyên xu  t hi  n trong các kì   thi Đạ i H  c -   Cao Đẳ ng ( và     thi c    không n  m ngoài các d  ng này). V  i cách gi  i t  ng quát cho các d  ng, các ví d    minh h   kèm, cùng v  ng bài t  ng, phong phú. Mong r  ng sau khi    c tài li  u, vi  c m  t bài toán tích phân s    không còn là rào c  i v  i các em . Chúc các em thành công ! Trong bài vi  t này s    gi  i thi  u t  i các em 8 ph  n:   Trang  I. SƠ ĐỒ   CHUNG GI  I BÀI TOÁN TÍCH PHÂN .................................   1  II. CÁC CÔNG TH  C NGUYÊN HÀM C  N NH  .................................   2  III. L  P TÍCH PHÂN H  U T    VÀ TÍCH PHÂN LƯỢ NG   GIÁC CƠ BẢ N.....   3 –12– 26  IV. 10 D  NG TÍCH PHÂN TRONG   CÁC ĐỀ   THI ĐẠ I H  C –   CAO ĐẲ NG...   27     V.    NG D  NG TÍCH PHÂN..............................................................   82     VI. CÁC L  C BI  T VÀ TÍCH PHÂN TRUY H  I........ 94 – 102 - 106  VII.   DÙNG TÍCH PHÂN ĐỂ   CH  NG TH  C CH  A   k  n C ......... 107 - 110  VIII. KINH NGHI  M GI  I H  C .................. 111- 114  I. SƠ ĐỒ   CHUNG GI  I BÀI TOÁN TÍCH PHÂNGV: THANH TÙNG   0947141139 – 0925509968   http://www.facebook.com/giaidaptoancap3  Trang 2  II. CÁC CÔNG TH  C NGUYÊN HÀM C  N NH    u ki  n   tiên quy  t      làm t  t ph  n   tích phân   là chúng ta   ph  i nh    và   hi  u    c cách v  n d  ng các   công th  c nguyên hàm   sau: (ch    c  n hi  u   8 công th  c   thì s    bi  t cách suy lu  n ra các công th  c còn l  i)  1  (   1) )   1  u u du   C                     1                 2  1 1 1  1 ;   . 1   1 1   1 ;   ;   1  ax   b x x dx   C   ax   b   dx   C a du   du du   u   C   C   C u   u   u   u                                                                            )   ln  du   u   C u        2  ln 1 ln  dx   x   C x dx   ax   b   C ax   b   a                           )   ln  u u   a a du   C a       3  ; ln 1 ;  x x   u   u x   x   ax   b   ax   b  a a dx   C   e du   e   C a e dx   e   C   e   dx   e   C a                                            ) sin   cos udu   u   C      4  sin   cos 1 sin(   )   cos(   )  xdx   x   C ax   b dx   ax   b   C a                           ) cos   sin udu   u   C      5  cos   sin 1 cos(   )   sin(   )  xdx   x   C ax   b dx   ax   b   C a                           2  )   cot sin  du   u   C u        6   2 2  cot sin 1 cot(   ) sin (   )  dx   x   C x dx   ax   b   C ax   b   a                             2  )   tan cos  du   u   C u        7   2 2  tan cos 1 tan(   ) cos (   )  dx   x   C x dx   ax   b   C ax   b   a                             2   2  1 1   1   1 )   ln 2   2  du   u   a du   C u   a   a   u   a   u   a   a   u   a                                       8   2   2 2   2  1 ln 2 1 ln 2  du   u   a   C a   u   a   u   a dx   x   a   C x   a   a   x   a                                  

10 dạng tích phân thường gặp trong đề thi Quốc gia – Nguyễn Thanh Tùng

NG  C HUY  N LB  (facebook.com/huyenvu2405)     tài li  u nh    ch    vi  t g    dành t  ng cho các em nhân ngày Valentine 2017 . Tuy CHƯA    tin nó cũng   giúp ích cho em ph  n!  NG  C HUY  N LB  Tác gi          tinh túy Toán    &    Ch  t l  c tinh túy toán   M  t s    v  n đ    ch  n l  c  NGUYÊN HÀM  TÍCH   PHÂN  VÀ    NG D  NG i ph  i tr  i qua giông t    nhưng không được cúi đầu trướ c giông t  !        làm là không h  i h  t         làm là h  t mình         làm là không h  i h  n!  facebook.com/huyenvu2405  M  t s    v  n đ    ch  n l  c Nguyên hàm      Tích   phân và    ng d  ng   ng bao gi    b    cu  c Em nhé! Ch    tin   EM   s    làm    c!  __Ng  c Huy  n LB__

Một số vấn đề chọn lọc nguyên hàm, tích phân và ứng dụng – Vũ Ngọc Huyền

Lê Bá B  o   Giáo viên chuyên luy  n thi THPT qu  c gia TP Hu   Giáo viên:   LÊ BÁ B  O ... 0935.785.115 ...   CLB Giáo viên tr    TP Hu   CHUYÊN    :   TÍCH PHÂN    NG D  NG  Ch       3:    NG D  NG C  A TÍNH PHÂN TRONG HÌNH H  C   ng d  ng 1:   TÍNH DI  N TÍCH HÌNH PH  NG I. LÝ THUY  T  Bài toán 1:   Di  n tích S   c  a hình ph  ng gi  i h  n b  i      th    c  a hàm s       f   x   liên t  n ; a b          , tr  c   hoành và hai đườ ng th  ng , x   a   x   b        c tính theo công th  c:      d  b a  S   f   x   x      (1)  Minh h  a các d  ng g  p:      0,   ;   . f   x   x   a b                 0,   ;   . f   x   x   a b                 f   x  không mang 1 d  u trên ;   . a b              d  b a  S   f   x   x          d  b a  S   f   x   x                         d   d  c   b a   c  S   f   x   x   f   x   x                     Lưu ý:  B  ng cách xem x   là   hàm c  a bi  n y   , t  c là      x   g y    , di  n tích S  c  a hình ph  ng gi  i h  n b  i đ    th    hàm s       x   g y    liên t  c trên    n ; a b           ,   tr  c   tung và hai đư  ng th  n g , y   a   y   b         c tính  theo công th  c:      d  b a  S   g y   y       (2)  Bài toán 2:   Di  n tích S   c  a hình ph  ng gi  i h  n b    th    c  a hàm s       f   x   ,      g x   liên t  c trên ; a b           và hai đườ ng th  ng , x   a   x   b        c tính theo công th  c:            d  b a  S   f   x   g x   x        (3) (H)  O  f(x) y  x  b a a   b  x  y  f(x)  O   (H) (H)  c  f(x)  a  b  y  x  O (H)  O  a  b  y  x  g(y)Chuyên đề   tích phân    ng d  ng   Lê Bá B  o  Biên t  p: Ng  c Huy  n LB (facebook.com/huyenvu2405)   The best or nothing  Minh h  a các d  ng g  p:            ,   ;   . f   x   g x   x   a b                          ,   ;   . f   x   g x   x   a b                          ,   ;   ; f   x   g x   x   a c                                ,   ;   ;   . f   x   g x   x   c b   a   c   b                                d  b a  S   f   x   g x   x                         d  b a  S   g x   f   x   x                                     d   d  c   b a   c  S   f   x   g x   x   g x   f   x   x                                    Lưu ý:  B  ng cách xem x   là hàm c  a bi  n y   , di  n tích S   c  a hình ph  ng  gi  i h  n b  i các đ    th    hàm s             , x   f   y   x   g y       liên t  c trên    n ; a b           và hai đư  ng th  ng , y   a   y   b         c tính theo công  th  c:            d  b a  S   f   y   g y   y        (4)  Bài toán 3:   Hình ph  ng gi  i h  n b  i nhi  ng cong  Di  n tích S   c  a hình ph  ng gi  i h  n b    th     c chia thành nhi  u ph  n di  n tích, mà m  i ph  n ta có th    tích theo công th  c (1), (2), (3) và (4).  Minh h  a các d  ng g  p:            ,   ;   ; f   x   h x   x   a c                                ,   ;   ;   . g x   h x   x   c b   a   c   b                             ,   ;   ; f   y   g y   y   a c                                ,   ;   ;   . f   y   h y   y   c b   a   c   b                                            d   d  c   b a   c  S   f   x   h x   x   g x   h x   x                                                          d   d  c   b a   c  S   f   y   g y   y   f   y   h y   y                                   (H)  g(x)  O   a   b  f(x)  x  y (H)  g(x)  O   a   b  f(x)  x  y (H)  c a   b  g(x)  f(x) y  O  x (H)  x  y  O  g(y)   f(y)  b  a y  x  h(x)  g(x)   f(x)  O   c a   b  ( H   2   )  ( H   1   ) ( H   1   )  ( H   2   )  b  a  c  O  f(y)  g(y)  h(y)  x  y

Ứng dụng của tích phân – Lê Bá Bảo

Nguy       Tích phân ch   15 –   Phó Đức Chính             1  Câu 1:   Bi               dx I   2x   1   4 =                    a.   2x   1   b.ln   2x   1   4   C . Tính a + b A. -2   B. -3   C. 1   D. 2  Câu 2:   Bi           x 0  L   e cos xdx   = a.e    + b. Tính a + b A. 0   B. 1   C. -2   D. 3  Câu 3:   Bi                1 2 0  L   x   1   x dx   a.   2   b   . Tính a - b A. 1   B. 1/3   C. 2   D. 3 Câu 4. Cho tích phân          2   2 1  I   2x   x   1dx   , kh   A.         3 0  I   udu   B.      2 I   27 3   C.     3  2  3  0  2 I   u 3   D.    I   3   3 Câu 5. Giá tr            f x   trên            a; b   , kí hi         m f                  b a  1 m f   f x dx b   a   . Giá tr               f x   s inx   trên            0; A.     2   B.     3   C.     1   D.     4 Câu 6. Cho           2 0  f x dx   5   khi đó                          2 0  f x   2 sin x dx   ?  A.    5   B.      5   2   C.   7   D. 3 Câu 7. Gi                          1   4   4 0   0   0  f x dx   2,   f x dx   3,   g x dx   4   , kh   A.                  4 0  f x   g x   dx   1   B.             4   4 0   0  f x dx   g x dx  C.             4   4 0   0  f x dx   g x dx   D.          4 0  f x dx   5  Câu 8. Cho           2 1   0  I   cosx   3 sin x   1dx   và               2 2   2 0  sin 2x  I s inx   2  , phát bi   A.    1  14  I   9   B.    1   2  I   I   C.       2  3   3  I   2 ln 2   2   D. Đáp án khác  Câu 9 . Cho               3 2 0  sin x I   dx cos2x   2  và đặt    t   cosx   . Kh   A.          3 2 0  1   sinx  I   4   cos x   B.         1 4 0.5  1   dt  I   4   t   C.       1  3 0 ,5  1 I   t 12   D.      7  I   12  Câu 10 . Cho                              1 2 0  x   1 I   dx   a   b   a   b   ? x   2x   2  A. 5   B. 1   C. 4   D. 3  Câu 11 . Cho          a 1  x   1dx   e x   , khi đó giá trị của a l Nguy       Tích phân ch   15 –   Phó Đức Chính             2 A.     2  1   e   B. e   C.   e  2   D.       2  1   e  Câu 12 . Cho tích phân                  2 0  s inx I   dx,a   1 1   2acosx   a  thì I b   A.   2  a   B.   2a   C. 2   D.   a  2  Câu 13 . Cho tích phân              a 0  s inx I   dx s inx   cosx   4   . Giá tr   A.     3   B.     4   C.     2   D.     6  Câu 14 . Tính tích phân               5 1  dx I   a ln 3   b ln 5 x   3x   1   Tính giá tr        2   2  a   ab   b  A. 4   B. 1   C. 0   D. 5  Câu 15 . Tìm kh            3 1 4 0  x   1 I   dx   ln 2 a x   1  A.    a   2   B.    a   4   C.    a   4   D.    a   2  Câu 16 . Cho       f x   là hàm s                1 1  f x dx   2   khi đó giá trị tích phân         1 0  f x dx   ?  A. 2   B. 1   C. 0.5   D. 0,25  Câu 17 . Gi               5 1  dx I   a   ln b 2x   1   giá tr    a; b   là A.       a   0; b   81   B.       a   1; b   9   C.       a   0; b   3   D.       a   1; b   8  Câu 18 . Kh             a e   3 1  3e   1  I   x ln xdx   b  A.    ab   64   B.    ab   46   C.       a   b   12   D.       a   b   4  Câu 19 . V     a   2   , giá tr           a 2 0  dx x   3x   2   là A.       a   2  ln 2a   1   B.       a   2  ln a   1   C.       a   2  ln 2(a   1)   D.       a   2  ln 2a   1  Câu 20 . Cho              a x 2 0  e   1  I   e s inxdx   b   khi đó       sina   cos2a   ?  A. 1   B. 2   C. 4   D. 0  Câu 21 . Cho              3 0  x I   dx 1   1   x   , n                    2 1  t   x   1   I   f t dt   , v   A.             2  f t   2t   2t   B.             2  f t   t   t   C.             2  f t   t   t   D.             2  f t   2t   2t  Câu 22 . Gi                     2 0 1  3x   5x   1   2 dx   a ln   b x   2   3   . Khi đó       a   2b   ?  A. 30   B. 40   C. 50   D. 60  Câu 23 . Cho                          2 1   nx 0  n   N,I   e   4xdx   e   1   e   1   , giá tr   A. 1   B. 3   C. 4   D. 2

Bài tập tích phân chống Casio – Nguyễn Tiến Chinh

3.     Baøi 01  NGUYEÂN HAØM  1. Định nghĩa  Cho hàm số   (   ) f   x   xác định trên khoảng   K   . Hàm số   (   ) F   x    của hàm số   (   ) f   x   nếu   (   )   (   ) ' F   x   f   x =   với mọi   x   K    .  Nhận xét.   Nếu   (   ) F   x   là một nguyên hàm của   (   ) f   x   thì   (   )   (   ) , F   x   C   C +         cũng là nguyên hàm của   (   ) f   x   . Ký hiệu:   (   )   (   ) d f   x   x   F   x   C =   +    .  2. Tính chất     (   ) (   )   (   )  /  d f   x   x   f   x =    .     (   )   (   )   (   ) .   d   .   d   ,   0 a f   x   x   a   f   x   x   a   a =                .     (   )   (   )   (   )   (   ) d   d   d f   x   g x   x   f   x   x   g x   x        =                 .  3. Bảng nguyên hàm của một số hàm số thường gặp  Bảng nguyên hàm  d k x   kx   C =   +    ,   k   là hằng số  (   )  1  d   1  1  x x   x   C         +  =   +     +    (   )   (   )   1  1 d   .   1  ax   b ax   b   x   C a        +  + +   =   + +   1 d   ln x   x   C  x   =   +    1   1 d   ln x   ax   b   C  ax   b   a  =   +   +  +   d x   x  e   x   e   C =   +    1 d ax   b   ax   b  e   x   e   C  a  +   +  =   +   d   ln  x x   a a   x   C a  =   +    d   . ln  mx   n mx   n   a a   x   C m   a  + +   =   +   cos   d   sin x x   x   C =   +    (   )   (   )  1 cos   d   sin ax   b   x   ax   b   C  a  +   =   +   +   sin   d   cos x x   x   C = −   +    (   )   (   )  1 sin   d   cos ax   b   x   ax   b   C  a  +   = −   +   +   2  1   d   tan cos   x   x   C  x   =   +    (   )   (   ) 2  1   1 d   tan cos   x   ax   b   C  a ax   b   =   +   +  +   2  1   d   cot sin   x   x   C  x   = −   +    (   )   (   ) 2  1   1 d   cot sin   x   ax   b   C  a ax   b   = −   +   +  +  VAØ ÖÙNG DUÏNG  CHUÛ ÑEÀ   NGUYEÂN HAØM -–TÍCH PHAÂNCÂU HỎI & B(I TẬP TRẮC NGHIỆM 12  NGUYỄN PHÚ KHÁNH      HUỲNH ĐỨC KHÁNH    Liên hệ tác giả HUỲNH ĐỨC KHÁNH      0975 120 189  https://www.facebook.com/duckhanh0205  Khi mua có sẵn   file word đề riêng;  file word đáp án riêng thuận tiện cho việc dạy  Câu 1.   Hàm số   (   ) f   x   có nguyên hàm trên   K   nếu:  A .   (   ) f   x   xác định trên   K   .   B .   (   ) f   x   có giá trị lớn nhất trên   K   .  C .   (   ) f   x   có giá trị nhỏ nhất trên   K   .   D .   (   ) f   x   liên tục trên   K   .  Lời giải.   Nếu hàm số   (   ) f   x   liên tục trên   K   thì nó có nguyên hàm trên   K   .  Chọn D.  Câu 2.   Mệnh đề nào sau đây là sai?  A . Nếu   (   ) F   x   là một nguyên hàm bất kỳ của   (   ) f   x   trên   (   ) ; a b   thì  (   )   (   ) d f   x   x   F   x   C =   +    với   C   là hằng số.  B . Mọi hàm số liên tục trên khoảng   (   ) ; a b      (   ) ; a b   .  C .   (   ) F   x   là một nguyên hàm của   (   ) f   x   trên   (   )   (   )   (   )   (   ) /  ;   ,   ; a b   f   x   F   x   x   a b    =         .  D .   (   ) (   )   (   )  /  d f   x   x   f   x =    .  Lời giải.   Chọn C.   Sửa lại cho đúng là:  ''   (   ) F   x   là một nguyên hàm của   (   ) f   x   trên   (   ) ; a b   (   )   (   )   (   ) /   ,   ;   ''. F   x   f   x   x   a b    =        Câu 3.   Xét hai khẳng định sau:  1)   Mọi hàm số   (   ) f   x   liên tục trên đoạn   [   ] ; a b     2)   Mọi hàm số   (   ) f   x   liên tục trên đoạn   [   ] ; a b     Trong hai khẳng định trên:  A . Chỉ có   1)    B . Chỉ có   2)      C . Cả hai đều đúng.   D . Cả hai đều sai.  Lời giải.   Hàm số có đạo hàm tại   0 x   thì liên tục tại   0 x   . Ngược lại hàm số liên tục tại  0 x   thì chưa chắc đã có đạo hàm tại   0 x   . Chẳng hạn xét hàm số   (   ) f   x   x =   tại điểm  0 x   =   .   Chọn B.  Câu 4.   Trong các khẳng định sau nói về nguyên hàm của một hàm số   (   ) f   x   xác định trên khoảng   D   , khẳng định nào là sai?  1)   (   ) F   x   là nguyên hàm của   (   ) f   x   trên   D   nếu và chỉ nếu   (   )   (   ) '   ,   D. F   x   f   x   x =        2)   Nếu   (   ) f   x   liên tục trên   D   thì   (   ) f   x   có nguyên hàm trên   D   .  3)   Hai nguyên hàm trên   D   của cùng một hàm số thì sai khác nhau một hằng số.  A . Khẳng định   1)   sai.   B . Khẳng định   2)   sai.  C . Khẳng định   3)   sai.   D . Không có khẳng định nào sai.  Lời giải.   Chọn D.

Bài tập trắc nghiệm nguyên hàm, tích phân và ứng dụng – Nguyễn Phú Khánh, Huỳnh Đức Khánh

NGUYÊN   HÀM      TÍCH   PHÂN       NG   D  NG  Biên tập: ĐẶNG NGỌC HIỀN   Page 1     TÍCH   PHÂN  1.   Khái   ni  m   tích   phân     Cho       F x   là   m  t   nguyên   hàm   c  a       f   x   và       f   x   liên   t  c   trên    o  n           ; a b   thì            d ( )   ( )   ( )   ( )  b   b a a f x   x   F x   F b   F a      i   v  i   bi  n   s    l  y   tích   phân,   ta   có   th    ch  n   b  t   kì   m  t   ch    khác   thay   cho   x ,   t  c   là:                      d   dt   d ( )   ( )   ( )   ...   ( )   ( )  b   b   b a   a   a f x   x   f t   f u   u   F b   F a  2.   Tính   ch  t   c  a   tích   phân  Gi    s    các   hàm   , f g   liên   t  c   trên   K   và   , , a b c   là   3   s    b  t   kì   thu  c   K   .   Ta   có:         d ( )   0  a a f x   x           d   d ( )   ( )  b   a a   b f x   x   f x   x                 d   d ( )   ( )   ,  b   b a   a kf x   x   k   f x   x   k                             d   d   d ( )   ( )   ( )   ( )  b   b   b a   a   a f x   g x   x   f x   x   g x   x                 d   d   d ( )   ( )   ( )  b   c   b a   a   c f x   x   f x   x   f x   x  Chú              d   d   d ( ) ( )   ( )   .   ( )  b   b   b a   a   a f x g x   x   f x   x   g x   x   ,        d d d  ( ) ( )   . ( )   ( )  b b a b a a f x   x f x   x g x   g x   x  A.   BÀI   T  P   T    LU  N  LO  I   1.   DÙNG   B  NG   NGUYÊN   HÀM,    NH   NGH  A   VÀ   TÍNH   CH  T            d ( )   ( )   ( )   ( )  b   b a a f x   x   F x   F b   F a  Bài 1:   Tính   các   tích   phân   sau:  a)          d  2 3 1 (   2   1) x   x   x   .   b)          d  1 2 0 (   )(2   1) x   x   x   x   .   c) .       d  2   3 2 1  x   x   x x   d)           d  1 2 0 1 2   3   1  x   x x   x  .........................................................................................................................................................................  .........................................................................................................................................................................  .........................................................................................................................................................................  .........................................................................................................................................................................  .........................................................................................................................................................................  .........................................................................................................................................................................  .........................................................................................................................................................................  .........................................................................................................................................................................  .........................................................................................................................................................................  .........................................................................................................................................................................  .........................................................................................................................................................................  .........................................................................................................................................................................NGUYÊN   HÀM      TÍCH   PHÂN       NG   D  NG  Biên tập: ĐẶNG NGỌC HIỀN   Page 2    Bài 2:   Tính   các   tích   phân   sau:  a)       d  2 2 0  x   x   x   .   b) .                 d  2 2 0 max   3   1,   1 x   x   x   x  c)       d  0 1   cos 2 x x   d)                 d  2 2 0 min 2   1,   1 x   x   x   x  .........................................................................................................................................................................  .........................................................................................................................................................................  .........................................................................................................................................................................  .........................................................................................................................................................................  .........................................................................................................................................................................  .........................................................................................................................................................................  .........................................................................................................................................................................  .........................................................................................................................................................................  .........................................................................................................................................................................  .........................................................................................................................................................................  .........................................................................................................................................................................  .........................................................................................................................................................................  LO  I   2.   DÙNG   PH  NG   PHÁP    I   BI  N   S   .   D  ng   1:   Gi    s    ta   c  n   tính                              d  b a I   f   u x   u   x   x   .   t        t   u x         d   d t   u   x   x    i   c  n:                             ; x   a   t   u a   x   b   t   u b  Ta   có:                  d  u b   u b u a u a I   f   t   x   F t  M      d (sin   ) cos   . f   x   x x         sin t   x     d (cos   ) sin   . f   x   x x         cos t   x     d  1 (ln   )   . f   x   x x        ln t   x      f   x   chỉ chứa 1 lượng căn    n   ax   b          n t   ax   b     d 2 1 (tan   )   . cos  f   x   x x        tan t   x     d 2 1 (cot   )   . sin  f   x   x x        cot t   x     d (   )   . x   x f e   e   x         x t   e

Bài tập tự luận và trắc nghiệm tích phân – Đặng Ngọc Hiền

L  i V  n T  n    C: Ho  ng Nguy  n, Tri Th  i    T: 0973056109   u t  t nh  t ch     n v  i nh  ng ng  t c    g   https://www.facebook.com/thaygiaoton   Trang 2  https://www.youtube.com/c/TonLai  L  i m      u  Trong chương trình trung họ c ph    thông, chúng ta đượ c gi  i thi    Laibơnit  thi  t l  p m    các bài toán tính tích tính phân chúng  ta ch    c    tính toán , do v  y b  c c  u k    ph  hàm(tôi đã giớ i thi  ng ph  n ch       tính tích phân tôi xin không đề   c  p nhi    t  ng d   nhi  ,   tôi cũng sẽ      gi  i thi  p ph  n tr  c nghi  .      cu  i m  i m  c  có phần bài tậ p t    luy  n, xin b  c t    làm để   rèn luyện, áp dụng các kiế n th  c trong m   M    các dòng máy tính cầ m tay hi    tính được tính phân và đượ c  phép mang vào phòng thi, nhưng xu thế   ra đề   hi  u h  n ch     t nhi  u vi  c s    d  ng tr  c ti  p  máy tính cầm tay tìm ra đáp án, các câu hỏ i      ph    năng –   ki  n th  c th  c s   m    làm được bài toán. Vì vậy tôi mong bạn đọ c s    dành thời gian tìm hiể u, ti  p thu ki  n th  c th  c s    và hạ n ch    t  c ph    thu  c   vào máy tính cầ m tay.  Trước khi đọc tài liệu này xin bạn đọc đọ c ph  t t       vi  c  tài liệu này đượ c hi  u qu  . L  i cu  i: do   tài liệ u xu  t b  n online l  c n   l  i sai, xin b    qua các kênh   dưới chân trang để   tôi chỉ nh s  a l  i.L  i V  n T  n    C: Ho  ng Nguy  n, Tri Th  i    T: 0973056109   u t  t nh  t ch     n v  i nh  ng ng  t c    g   https://www.facebook.com/thaygiaoton   Trang 3  https://www.youtube.com/c/TonLai  M  c l  c  Tài liệ u tham kh  o ................................................................................................................................................................. 3  1.   Lý thuy  t tích phân  ....................................................................................................................................................... 4  1.1.     nh nghĩa tích phân   ............................................................................................................................................ 4  1.2.   Các tính ch  t c  a tíc h phân   ................................................................................................................................ 4  2.   Tính tích phân b  ng phương pháp phân tích   ...................................................................................................... 5  3.   Tính tích phân b  ng phương pháp đ  i bi  n s    ................................................................................................... 6  4.   Tính tích phân b  ng phương pháp tích phân t  ng ph  n ................................................................................. 8  5.    ng d  ng c  a tích phân(tr  ng đi  m)   ................................................................................................................. 10  5.1.   Tính di  n   tích hình ph  ng   ............................................................................................................................... 10  5.1.1.   Di  n tích hình ph  ng gi  i h  n b  i m  t đư  ng cong  ...................................................................... 10  5.1.2.   Di  n tích hình ph  ng gi  i h  n b  i hai đư  ng cong ........................................................................ 11  5.2.   Tính th    tích v  t th  ........................................................................................................................................... 14  5.2.1.   Tính th    tích v  t   th    t    công th  c di  n tích thi  t di  n   ................................................................. 14  5.2.2.   Tính th    tích kh  i tròn xoay ................................................................................................................... 15  5.3.   M  t s    bài toán th  c t   ..................................................................................................................................... 17  6.   Gi  i thi  u m  t s    bài t  p đ  nh d  ng tr  c nghi  m   (tr  ng đi  m)  ................................................................. 23  6.1.   Tr  c nghi  m lý thuy  t tích phân   ................................................................................................................... 23  6.2.   Tr  c nghi  m liên quan tính tích phân tr  c ti  p  ....................................................................................... 31  6.3.   Tr  c nghi  m liên quan    ng d  ng tích phân   .............................................................................................. 44  Tài liệ u tham kh  o  Lê Hồ ng    c, L. H. (2006).  Phương pháp giải toán Tích Phân.  Internet. (không ngày tháng).  Tuy  n t    thi th    minh h    chính thứ c c  a b    GD và ĐT.  Tr  Sách giáo khoa giải tích 12.   nhà xuấ t b  c.

Chuyên đề tích phân – Lại Văn Tôn

1  TÍCH PHÂN VẬN DỤNG CAO TRONG ĐỀ THI THPT QUỐC GIA 2018  Vấn đề 1. Tính tích phân theo định nghĩa Câu 1.   Cho hàm số       f   x   có đạo hàm liên tục trên       0;1 ,   thỏa               2  2   3   1   1   . f   x   f   x   x             Giá trị của tích phân        1 0 '   d f   x   x   bằng  A.   0.   B.   1   .  2   C.   1.   D.   3   .  2 Lời giải.   Ta có                    1   1 0 0 d   1   0 . f   x   x   f   x   f   f             Từ                          2 2 0 2   0   3   1   1   5 2   3   1   1   . 3 2   1   3   0   0   1   5  f f   f f   x   f   x   x   f   f   f                                                                  Vậy              1 0 3   2 '   d   1   0   1. 5   5  I   f   x   x   f   f                    Chọn C. Câu 2.   Cho hàm số       f   x   có đạo hàm liên tục trên       0;1 ,   thỏa mãn             0   1   1. f   f       Biết rằng              1 0 d   . x e   f   x   f   x   x   ae   b                   Tính   2018   2018   . Q   a   b      A.   2017 2   1 Q         .   B.   2 Q      .   C.   0 Q      .   D.   2017 2   1 Q         .  Lời giải.   Ta có                                     1   1   0   1   1 1 / 0 0   0 d   d   1   0   1.  f   f x   x   x e   f   x   f   x   x   e   f   x   x   e   f   x   ef   f   e                                                                       Suy ra        2018 2018   2018   2018 1   1   1   2. 1  a   Q   a   b b                                   Chọn B.  Câu   3.   Cho   các   hàm   số       , y   f   x        y   g x    có      hàm   liên   tục   trên       0;2   và   thỏa   mãn              2 0 '   d   2, f   x   g x   x                 2 0 '   d   3. f   x   g   x   x       Tính tích phân              2   / 0 d . I   f   x   g x   x              A.   1. I      B.   1. I      C.   5. I      D.   6. I     Lời giải.   Ta có                                      2   2 / 0   0 d   '   '   d I   f   x   g x   x   f   x   g x   f   x   g   x   x                                                        2   2 0   0 '   d   '   d   2   3   5. f   x   g x   x   f   x   g   x   x                    Chọn C.  Câu 4.   Cho hàm số       y   f   x    liên tục trên       0;    và thỏa           2 0 d   .sin  x f   t   t   x   x      . Tính   1  4  f                       .  A.   1   . 4   2  f                         B.   1   1   .  4   2  f                        C.   1   1. 4  f                        D.   1   1   . 4   2  f                           Lời giải.   Từ           2 0 d   .sin  x f   t   t   x   x      , đạo hàm hai vế ta được                   2 2   sin   cos   . xf   x   x   x   x             Cho   1  2  x      ta được   1   1   1 2.   .   sin   cos   1   1. 2   4   2   2   2   4  f   f                                                                     Chọn C.  Câu 5.   Cho hàm số       f   x   liên tục trên       ; a      với   0 a      và thỏa        2   d   6   2  x a f   t   t   x t          với mọi   . x   a    Tính       4 . f  A.       4   2. f      B.       4   4. f      C.       4   8. f      D.       4   16. f     Lời giải.   Từ        2   d   6   2  x a f   t   t   x t          , đạo hàm hai vế ta được        2 1 .  f   x x   x    Suy ra             4   4   4   8. f   x   x   x   f              Chọn C.2  Vấn đề 2. Kỹ thuật đổi biến Câu 6.   Cho        2017 0 d   2 f   x   x       . Tính tích phân        2017   1 2 2 0 .   ln   1   d . 1  e x I   f   x   x x                      A.   1. I      B.   2. I      C.   4. I      D.   5. I     Lời giải.          2 ln   1 , t   x       suy ra   2   2 2 d   d   d d   . 2 1   1  x x   x x   t  t   x   x                  2017 0   0   . 1   2017  x   t x   e   t                               Khi đó           2017   2017 0   0 1   1   1 d   d   .2   1. 2   2   2  I   f   t   t   f   x   x                 Chọn A. Câu 7.   Cho hàm số       f   x   liên tục trên      và              9   2 1   0 d   4,   sin   cos   d   2.  f   x   x   f   x   x x x              Tính tích phân        3 0 d . I   f   x   x      A.   2. I      B.   6. I      C.   4. I      D.   10. I     Lời giải.      Xét       9 1 d   4.  f   x   x x          2   , t   x   t   x          suy ra   2 d   d . t t   x     1   1   .  9   3  x   t x   t                            Suy ra              9   3   3 1   1   1 4   d   2   2d   d   2.  f   x   x   f   t   t   f   t   t x                        Xét        2 0 sin   cos   d   2. f   x   x x           sin   , u   x    suy ra   d   cos   d . u   x x    0   0  .  1  2  x   u x   u                                Suy ra           1 2 0   0 2   sin   cos   d   d . f   x   x x   f   t   t             Vậy                    3   1   3 0   0   1 d   d   d   4. I   f   x   x   f   x   x   f   x   x                    Chọn C.  Câu 8.   Cho hàm số       f   x   liên tục trên      và             1   2 4 2 0   0 tan   d   4,   d   2. 1  x   f   x f   x   x   x x                Tính tích phân        1 0 d . I   f   x   x      A.   6. I      B.   2. I      C.   3. I      D.   1. I     Lời giải.   Xét        4 0 tan   d   4. f   x   x          tan   , t   x    suy ra       2 2   2 1   d d   d   tan   1 d   d   . cos   1  t  t   x   x   x   x x   t                      0   0  .  1  4  x   t x   t                                Khi đó                1   1 4 2   2 0   0   0 4   tan   d   d   d . 1   1  f   t   f   x f   x   x   t   x t   x                       Từ đó suy ra                   1   1   1   2 2   2 0   0   0 d   d   d   4   2   6. 1   1  f   x   x   f   x I   f   x   x   x   x x   x                                Chọn A.  Câu 9.   Cho hàm số       f   x   liên tục trên      và thỏa mãn        4 2 0 tan   .   cos   d   1, x f   x   x             2   2 ln   d   1. ln  e e f   x   x x   x       Tính tích phân      2 1 4 2   d .  f   x I   x x       A.   1. I      B.   2. I      C.   3. I      D.   4. I     Lời giải.           4 2 0 tan   .   cos   d   1 A   x f   x   x           .      2 cos   . t   x 

Hướng dẫn giải tích phân vận dụng cao trong đề thi THPTQG 2018

ST&BS: Th.S Đặ ng Vi  ng THPT Nho Quan A   Tích Phân và    ng D  ng File Word liên h  : 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com   Trang 0  Facebook: https://www.facebook.com/dongpayST&BS: Th.S Đặ ng Vi  ng THPT Nho Quan A   Tích Phân và    ng D  ng File Word liên h  : 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com   Trang 1  Facebook: https://www.facebook.com/dongpay  MỤC LỤC 1.1 NGUYÊN HÀM ĐỊNH NGHĨA, TÍNH CHẤT VÀ NG.H CƠ BẢN 1.2 NGUYÊN HÀM ĐỊNH NGHĨA, TÍNH CHẤT VÀ NG.H CƠ BẢN 2. NGUYÊN HÀM ĐỔI BIẾN 3. NGUYÊN HÀM TỪNG PHẦN 4. TÍCH PHÂN ĐỊNH NGHĨA, TÍNH CHẤT VÀ TP CƠ BẢN 5. TÍCH PHÂN ĐỔI BIẾN 6. TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN 7. GTLN, GTNN – BẤT ĐẲNG THỨC TÍCH PHÂN 8.1 TÍCH PHÂN HÀM ẨN ÁP DỤNG TÍNH CHẤT 8.2 TÍCH PHÂN HÀM ẨN ÁP DỤNG ĐỔI BIẾN 8.3 TÍCH PHÂN HÀM ẨN ÁP DỤNG TỪNG PHẦN 9.1 ỨNG DỤNG TÍNH DIỆN TÍCH GIỚI HẠN BỞI CÁC ĐƯỜNG 9.2 ỨNG DỤNG TÍNH DIỆN TÍCH CÓ ĐỒ THỊ ĐẠO HÀM VÀ ỨNG DỤNG THỰC TẾ 10.1 ỨNG DỤNG TÍNH THỂ TÍCH GIỚI HẠN BỞI CÁC ĐƯỜNG 10.2 ỨNG DỤNG THỰC TẾ THỂ TÍCH BỞI CÁC ĐƯỜNG VÀ ỨNG DỤNG THỰC TẾ 11. ỨNG DỤNG THỰC TẾ VÀ LIÊN MÔN

Chuyên đề nguyên hàm, tích phân và ứng dụng – Đặng Việt Đông

1  THÂN T  NG   QUÝ   TH  Y CÔ   VÀ CÁ C EM   HỌ C SINH   TOÀ N QU  C  H    TH  NG   BÀ I T  P TR  C NGHI  M V  N   DỤ NG CAO, PHÂN   LOẠ I  NGUYÊN   HÀ M,   TÍ CH PHÂN L  P 12 THPT  (KHÔNG BAO G  M    NG   DỤ NG)  PH  N 1 – 10  9  4  (1993 ) f   x   dx   CREATED BY GIANG SƠN  TP. THÁ I   BÌ NH;   THÁ NG 4/2020  _____________________________________________________________________________________________________________2  VẬN DỤNG CAO, PHÂN LOẠI NGUYÊN HÀM, TÍCH PHÂN LỚP 12 THPT  (LỚP BÀI TOÁN T  NG H  P – PH  N 1)  __________________________________________________  Câu 1.   Cho tích phân        2  0  cos   sin   8 xf   x dx        . Tính        2  0  sin   .   cos x f   x dx       .  A. – 8   B. 4   C. 8   D. 16  Câu   2.   Cho   hà m   s        f   x   liên   tục,   có      hàm   trên   R   thỏa   mãn         3   2   2 f   x dx   x   x           .   Giá   trị   của       2  2  1  1 I   xf   x   dx        gần nhất với giá trị nào ?  A.   83   B.   38   C.   120   D.   70  Câu 3.   Hà m s        y   f   x    liên tục trên      thỏa mãn       5   1   2 f   x   x   x             . Tính              33   37  1   5  4 f   x dx   f   x   dx           .  A. 696   B. 200   C. 236   D. 120  Câu 4.   Giả sử hàm số       y   f   x    liên tục, nhận giá trị dương trên       0;                        2   1;   4   1 f   f   x   f   x   x           . Mệnh đề nào sau đây đúng ?  A. 1 < f (5) < 2   B. 2 < f (5) < 3   C. 3 < f (5) < 4   D. 4 < f (5) < 5  Câu 5.   Hàm số f (x) xác định trên       \   1;5     thỏa mãn         2  1  4   5  f   x   x   x              ; f (1) = 1;         ln 2  7   3  f      .  Giá trị biểu thức f (0) + f (– 3) gần nhất số nào sau đây ?  A. 1,38   B. 0,38   C. 3,31   D. 32,22  C C   u u   6 6 . .   C C h h o o   h h   m m   s s         f   x   t t h h   a a   m m   n n                    2   2  .   24   12   3, f   x   f   x   f   x   x   x   x                                    ; ;             0   0   1 f   f          . .  G G i i     t t r r     c c   a a   t t   c c h h   p p h h   n n        2  1  1 f   x   dx     l l    A A . .       2 2   B B . .   1  3     C C . .   5  6     D D . .   2  3  Câu 7.   Cho hàm số       f   x   liên tục và có đạo hàm trên đoạn [1;3] thỏa mãn điều kiện             3   5,   1;3 f   x   x           .  Giả sử tồn tại hai số thực a và b sao cho                   3   1   ,   1;3 a   f   f   b   x             . Tính giá trị của tổng   S   a   b       .  A.   16   B.   15   C.   17   D.   8  Câu 8.   Hà m s        f   x   thỏ a   mã n   (3)   3;   ( )   ,   0  1   1  x  f   f   x   x  x   x                       .   Tí nh  8  3  ( ) f   x dx    .  A.   197  6   B.   181  6   C. 7   D. 14,5  Câu 9.   Tính K =        3  4  0  ; max x   x dx    .  A. K = 15,5   B. K = 2,6   C. K = 48,9   D. K = 11,2  Câu 10.   Hà m s        f   x   là hà m s    ch  n, liên   tụ c trên R   thỏ a   mã n  1  0  ( )   2018 f   x dx       ,   hà m s    ( ) g x   là hà m s    liên  tụ c trên R   thỏ a   mã n   ( )   (   )   1 g x   g   x          .   Tí nh   tí ch phân  1  1  ( )   ( ) f   x g x dx       .  A. 2018   B. 504,5   C. 4036   D. 1008

Hệ thống bài tập trắc nghiệm vận dụng cao, phân loại nguyên hàm, tích phân

KÊNH PPT – TIVI – 2020  MỘT SỐ THỦ THUẬT TÍNH TÍCH PHÂN  TRONG ĐỀ MH-BGD NĂM 2020 VÀ CÁC ĐỀ PHÁT TRIỂN  Tổng hợp: Thủy Đinh Ngọc  I. CÁC PP HAY SỬ DỤNG  - PP tự luận  - PP Casio  - PP chọn hàm đại diện....  II. BÀI TẬP   .  Câu 1.   [CÂU   48-MH-BGD-L1]   Cho   hàm   số       f   x   liên   tục   trên      thoả   mãn            3   2   10   6  1   2 ,                  xf   x   f   x   x   x   x   x   . Khi đó        0  1  d       f   x   x   ?  A.   17  20     .   B.   13  4     .   C.   17  4   .   D.   1    .  Câu 2.   [CÂU 7-MH-BGD-L1]   Nếu        2  1  d   2 f   x   x       và        3  2  d   1 f   x   x       thì        3  1  d f   x   x    bằng  A.   3    .   B.   1    .   C.   1 .   D.   3 .  Câu 3.   [CÂU 18-MH-BGD-L2]   Nếu   1  0   ( )d   4 f x   x       thì   1  0   2   ( )d f   x   x    bằng  A.   16   .   B.   4 .   C.   2 .   D.   8 .  Câu 4.   [CÂU 45-MH-BGD-L2]   Cho hàm số       f   x   có       0   0 f      và         2  cos   cos 2 , f   x   x   x   x           . Khi          0  d f   x   x       bằng  A.   1041 .  225   .   B.   208   .  225   .   C.   242   .  225   .   D.   149   .  225    Câu 5.   [TRẦN   BÌNH   TRỌNG–KHÁNH   HÒA-2020]   Cho   hàm   số       f   x   có      9  3   2  f      và        3   2  2  1   ,   1.  1  x   x  f   x   x  x   x   x                           Tính        3  0  I   f   x dx       .  A.   29  6  I      B.   101  6  I      C.   43  6  I      D.   52  6  I      .  Câu 6.   Cho hàm số       y   f   x    có       ln3   4 f      và         ,   .  1  x  x  e  f   x   x  e                Khi đó        ln 8  ln 3  x  e   f   x dx    bằng:  A.   2   B.   38  3   C.   76  3   D.   136  3   .Câu 7.   Cho   hàm   số       y   f   x    có      hàm   liên   tục   trên      thỏa   mãn       1   1 f      và            3   7  1   2, xf   x   f   x   x   x   x                       . Tính tích phân        1  0  d I   f   x   x       .  A.   2  3   .   B.   5  9     .   C.   5  9   .   D.   2  3    Câu 8.   Cho hàm số   (   ) y   f   x    liên tục trên      và thỏa mãn   2   3 3  4   (   )   6   (2 )   4  5  xf x   f   x   x          . Giá trị  4  0  ( )d f   x   x    bằng  A.   52  25   .   B.   52.   C.   48  25   .   D.   48.  Câu 9.   Cho hàm số       f   x   liên tục trên      thỏa mãn            2   5   3   2  3   .   2   5   18   45   11   1, f   x   x f   x   x   x   x   x   x                               . Khi đó        3  3  d f   x   x       bằng  A.   96 .   B.   64   .   C.   192   .   D.   32   .  Câu 10.   Cho   hàm   số       f   x   có      hàm   liên   tục   trên       0;1   thỏa   mãn       0   1 f      và                             2   2   6   4   2  4 6   1   40   44   32   4,   0;1 f   x   x   f   x   x   x   x   x                         . Tích phân        1  0  d f   x   x    bằng  A.   23  15   .   B.   17  15     .   C.   13  15   .   D.   7  15     .  Câu 11.   [SỞ HÀ NỘI LẦN 1 – CÂU 31 - 2020]   Cho hàm số       y   f   x    có đạo hàm liên tục trên       0;1   ,  thỏa mãn        1  0  d   3 f   x   x       và       1   4 f      . Tích phân        1  0  d xf   x   x     có giá trị là  A.   1  2     .   B.   1  2   .   C.   1 .   D.   1    .  Câu 12.   [LAM SƠN – THANH HÓA – CÂU 40 - 2020]   Cho hàm số       f   x   liên tục trên đoạn       0;10  thỏa mãn              10   10  0   2  d   7,   d   1 f   x   x   f   x   x           . Tính        1  0  2   d P   f   x   x       .  A.   6 P      .   B.   6 P      .   C.   3 P      .   D.   12 P      .  Câu 13.   [CHUYÊN SP HÀ NỘI – CÂU 40 - 2020]   Cho hàm số   ( ) y   f   x    liên tục trên tập số thực thỏa  mãn       2   3   2  ( )   (5   2).   5   4   50   60   23   1, f   x   x   f   x   x   x   x   x   x   R                         .  Giá trị của biểu thức  1  0  ( ) f   x dx    bằng  A.   2   .   B.   1 .   C.   3   .   D.   6   .  Câu 14.   [CHUYÊN BIÊN HÒA – HÀ NAM – CÂU 42- 2020]   Cho hàm số       f   x   liên tục trên   R   và  thỏa mãn        1  5  d   9 f   x   x        . Tính tích phân        2  0  1   3   9 d f   x   x                .  A.   15   .   B.   27   .   C.   75   .   D.   21 .

Nguyên hàm - tích phân